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polynomials in one variable MCQ Questions for Class 10
polynomials in one variable se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
बहुपद में \(x^4\) वाला पद \(8x^4\) है, इसलिए उसका गुणांक 8 है। \(-5x^3\) का गुणांक \(-5\) है, लेकिन वह \(x^3\) वाले पद का गुणांक है। परीक्षा में पद की घात और उसके गुणांक को अलग-अलग पहचानें। / The term containing \(x^4\) is \(8x^4\), so its coefficient is 8. Although -5 is a coefficient in the polynomial, it belongs to the \(x^3\) term, not the \(x^4\) term. In exams, match the required power with its term before identifying the coefficient.
\(m\ne0\) होने से \(mx\) पद निश्चित रूप से मौजूद रहता है। इस बहुपद में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी घात 1 होगी। विकल्प 0 केवल अशून्य स्थिर बहुपद के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। / Since \(m\ne0\), the term \(mx\) is present. The highest power of the variable \(x\) in the polynomial is therefore 1, so its degree is 1. Degree 0 applies to a non-zero constant polynomial, not to this expression. Exam tip: identify the highest power of the variable whose coefficient is non-zero.
\(p(x)=-18\) को \(-18x^0\) लिखा जा सकता है। बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो; यहाँ वह घात \(0\) है। इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य अचर बहुपद की घात हमेशा 0 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं मानी जाती। / The polynomial \(p(x)=-18\) can be written as \(-18x^0\). The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient; here, that power is \(0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: every non-zero constant polynomial has degree 0, whereas the degree of the zero polynomial is not defined.
अचर पद वह पद होता है जिसमें चर \(t\) की कोई घात नहीं होती। दिए गए बहुपद में \(4t^5\), \(-6t^2\) और \(t\) में चर उपस्थित है, जबकि \(15\) में चर नहीं है; इसलिए अचर पद 15 है। परीक्षा में अचर पद पहचानने के लिए उस पद को देखें जिसमें चर दिखाई न दे। / The constant term is the term that does not contain the variable \(t\). In the given polynomial, \(4t^5\), \(-6t^2\), and \(t\) contain \(t\), whereas 15 does not; therefore, the constant term is 15. Exam tip: identify the term whose variable has exponent zero or is absent.
\(p(-1)=2(-1)^2+3(-1)+4=2-3+4=3\) और \(p(0)=2(0)^2+3(0)+4=4\)। इसलिए \(p(-1)-p(0)=3-4=-1\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B \(0\) लेने पर दोनों मानों को समान मानने की गलती होती है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, लेकिन रैखिक पद \(3x\) में \(x=-1\) रखने पर उसका मान \(-3\) होगा। / Substituting \(x=-1\), \(p(-1)=2(-1)^2+3(-1)+4=2-3+4=3\). Also, \(p(0)=2(0)^2+3(0)+4=4\). Therefore, \(p(-1)-p(0)=3-4=-1\), so option A is correct. Choosing 0 would incorrectly assume that the two polynomial values are equal. Exam tip: the square of a negative number is positive, but the linear term \(3x\) becomes \(-3\) when \(x=-1\).
\(p(1)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x=1\) रखें: \(p(1)=1^3-2(1)^2+1=1-2+1=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। ध्यान रखें कि \(-2x^2\) पद का मान \(-2\) होगा, \(+2\) नहीं। परीक्षा में किसी बहुपद का शून्य जाँचने के लिए उसमें दिए गए मान को सीधे प्रतिस्थापित करें। / To find \(p(1)\), substitute \(x=1\) in the polynomial: \(p(1)=1^3-2(1)^2+1=1-2+1=0\). Hence, the correct answer is 0. The closest distractor, 1, results from not combining the terms correctly; the term \(-2x^2\) contributes \(-2\), not \(+2\). In an exam, substitute the given value directly to check the value of a polynomial or its zero.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक निर्धारित नहीं किया जा सकता और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसके विपरीत, किसी गैर-शून्य नियत बहुपद की घात 0 होती है, इसलिए विकल्प A गलत है। परीक्षा में याद रखें: शून्य बहुपद और गैर-शून्य नियत बहुपद की घात को अलग-अलग समझना चाहिए। / The zero polynomial has no non-zero term, so there is no highest exponent to determine its degree; hence, its degree is not defined. In contrast, a non-zero constant polynomial has degree 0, so option A is incorrect. Exam tip: distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
अवरोही क्रम में x की सबसे बड़ी घात वाला पद पहले और फिर घटती हुई घातों वाले पद लिखे जाते हैं। यहाँ पदों की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं, इसलिए सही रूप \\(2x^2-3x+8\\) है। विकल्प B और C में \\(x\\) के पद का चिह्न बदल गया है, जबकि D में पदों के चिह्न और क्रम दोनों गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक पद की घात पहचानकर उन्हें बड़ी से छोटी घात के क्रम में सजाएँ। / In descending order, the term with the highest power of x is written first, followed by terms with decreasing powers. The powers here are 2, 1, and 0, so the correct form is \\(2x^2-3x+8\\). Options B and C incorrectly change the sign of the x-term, while D changes signs and does not preserve the polynomial. Exam tip: identify each term’s power before arranging the terms from greatest to least.
\(a\ne 0\) होने पर \(ax\) का पद निश्चित रूप से मौजूद रहता है, इसलिए \(ax+b\) की उच्चतम घात \(1\) होती है। अतः यह रैखिक बहुपद है। यह नियत बहुपद नहीं हो सकता, क्योंकि \(x\) का गुणांक शून्य नहीं है; और इसकी घात \(2\) भी नहीं है। परीक्षा-युक्ति: जिस चर की उच्चतम घात \(1\) हो, वह रैखिक बहुपद कहलाता है। / Since \(a\ne 0\), the term \(ax\) is definitely present, so the highest power of \(x\) in \(ax+b\) is \(1\). Therefore, it is a linear polynomial. It cannot be constant because the coefficient of \(x\) is non-zero, and its degree is not \(2\). Exam tip: a polynomial whose highest power of the variable is \(1\) is called a linear polynomial.
दिए गए बहुपद में \\(x=2\\) रखने पर \\(p(2)=2^2-2(2)+3=3\\) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, \\(x=-1\\) रखने पर \\(p(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=6\\)। अतः \\(p(2)+p(-1)=3+6=9\\)। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने पर \\(-2(-1)=+2\\) का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \\(x=2\\) gives \\(p(2)=2^2-2(2)+3=3\\). Substituting \\(x=-1\\) gives \\(p(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=6\\). Therefore, \\(p(2)+p(-1)=3+6=9\\). Exam tip: when substituting \\(x=-1\\), remember that \\(-2(-1)=+2\\).
बहुपद में चर की घातें अशून्य पूर्णांक होती हैं और उसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं। विकल्प C में \(t\) की घातें 3, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प A में \(\sqrt{t}=t^{1/2}\), विकल्प B में ऋणात्मक घात \(t^{-2}\), और विकल्प D में चर हर में है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: चर की घात जाँचें—भिन्नात्मक या ऋणात्मक घात होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the powers of the variable must be non-negative integers, while the coefficients may be real numbers. In option C, the powers of \(t\) are 3, 1, and 0, so it is a polynomial. Option A contains \(\sqrt{t}=t^{1/2}\), option B contains the negative power \(t^{-2}\), and option D has the variable in the denominator; hence, they are not polynomials. Exam tip: check the powers of the variable first—fractional or negative powers make an expression non-polynomial.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। \(3x^2+x+1\) में उच्चतम घात वाला पद \(3x^2\) है, इसलिए इसका प्रमुख गुणांक 3 है, 1 नहीं। अन्य तीन बहुपदों के प्रमुख पदों के गुणांक क्रमशः 1, 1 और 1 हैं। परीक्षा-युक्ति: जिस पद की घात सबसे अधिक हो, उसके गुणांक को प्रमुख गुणांक पहचानें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In \(3x^2+x+1\), the highest-degree term is \(3x^2\), so its leading coefficient is 3, not 1. The leading coefficients of the other three polynomials are all 1. Exam tip: Identify the highest-degree term first, then read its coefficient.
किसी बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ x-2+1 की घात 2, x-3+x की घात 3 और 5x-2 की घात 1 है। इसलिए 5x-2 की घात सबसे कम है। ध्यान रखें कि अशून्य स्थिरांक पद की घात 0 होती है और रैखिक बहुपद की घात 1। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. Here, the degrees of x-2+1, x-3+x, and 5x-2 are 2, 3, and 1, respectively. Therefore, 5x-2 has the least degree. Exam tip: a polynomial of the form ax+b, where a is nonzero, is linear and has degree 1.
गैर-शून्य नियत बहुपद का सामान्य रूप c(a), जहाँ c\(a\ne 0\), होता है। इसमें चर की उच्चतम घात 0 मानी जाती है, इसलिए इसकी घात 0 है। ध्यान रखें कि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती; यह प्रश्न गैर-शून्य नियत बहुपद के बारे में है। परीक्षा में नियत बहुपद और शून्य बहुपद को अलग-अलग पहचानें। / A non-zero constant polynomial has the form \(a\), where \(a\ne 0\). Since it contains no variable term, its degree is taken as 0. The degree of the zero polynomial is undefined, but this question refers specifically to a non-zero constant polynomial. In exams, distinguish a non-zero constant polynomial from the zero polynomial.
दिए गए बहुपद में x=0 रखने पर p(0)=5(0)2-3(0)+2=2 मिलता है। x=1 रखने पर p(1)=5-3+2=4। अतः p(0)+p(1)=2+4=6, इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक बहुपद मान अलग-अलग निकालकर अंत में उनका योग करें। / Substituting x=0 gives p(0)=5(0)2-3(0)+2=2. Substituting x=1 gives p(1)=5-3+2=4. Therefore, p(0)+p(1)=2+4=6, so option C is correct. In such questions, evaluate each polynomial value separately before adding them.
बहुपद में \(x=-2\) रखने पर \(p(-2)=(-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\) प्राप्त होता है। अतः \(-2\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प B में \(p(0)=4\), इसलिए वह शून्य नहीं है; इसी प्रकार \(p(2)=16\) और \(p(4)=36\)। परीक्षा-युक्ति: शून्यक जाँचने के लिए दिए गए मान को बहुपद में रखकर मान \(0\) होना चाहिए। / Substituting \(x=-2\) gives \(p(-2)=(-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\). Therefore, \(-2\) is a zero of the polynomial. Option B is incorrect because \(p(0)=4\); similarly, \(p(2)=16\) and \(p(4)=36\). Exam tip: To test whether a number is a zero, substitute it into the polynomial and check whether the result is \(0\).
किसी संख्या को बहुपद का शून्यक होने के लिए उस संख्या पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। यहाँ \(p(3)=3^2-9=0\) और \(p(-3)=(-3)^2-9=0\), इसलिए 3 और -3 शून्यक हैं। लेकिन \(p(0)=0^2-9=-9\neq 0\), अतः 0 शून्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-a^2=(x-a)(x+a)\) का उपयोग करके शून्यक जल्दी ज्ञात किए जा सकते हैं। / A number is a zero of a polynomial only when the value of the polynomial at that number is 0. Here, \(p(3)=3^2-9=0\) and \(p(-3)=(-3)^2-9=0\), so 3 and -3 are zeros. However, \(p(0)=0^2-9=-9\neq 0\); therefore, 0 is not a zero. Exam tip: Use \(x^2-a^2=(x-a)(x+a)\) to find the zeros quickly.
इस बहुपद के गैर-शून्य पद \(x^4\), \(-6x^2\) और \(9\) हैं। इसलिए इसमें कुल 3 गैर-शून्य पद हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि पदों की संख्या 2 नहीं, बल्कि 3 है। परीक्षा-युक्ति: पदों की संख्या गिनते समय धन या ऋण चिह्न से अलग हुए प्रत्येक गैर-शून्य पद को एक बार गिनें। / The non-zero terms are \(x^4\), \(-6x^2\), and \(9\), so the polynomial has 3 non-zero terms. Option A is incorrect because there are three terms, not two. Exam tip: Count each non-zero term separated by a plus or minus sign, including the constant term.
बहुपद में \(x=-2\) रखने पर \(r(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प −4 चुनने पर सामान्यतः \(-4(-2)\) के चिह्न या जोड़-घटाव में गलती होती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या को घात और गुणन से पहले कोष्ठक में अवश्य लिखें। / Substitute \(x=-2\) into the polynomial: \(r(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0\). Therefore, the correct answer is 0. The distractor −4 may result from mishandling the sign in \(-4(-2)\) or in the final addition. In an exam, always use brackets when substituting a negative value.
बहुपद \(3x^2-4\) में \(x\) वाला पद उपस्थित नहीं है। ऐसे पद का गुणांक \(0\) माना जाता है, इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प C में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में किसी पद के अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक शून्य अवश्य जाँचें। / In the polynomial \(3x^2-4\), the term containing \(x\) is absent. The coefficient of an absent term is taken as \(0\), so option B is correct. In option C, the coefficient of \(x\) is \(1\), not zero. Exam tip: treat every missing term in a polynomial as having coefficient zero.
किसी संख्या के बहुपद का शून्य होने के लिए उस संख्या पर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। \(f(2)=2^2+2(2)-8=4+4-8=0\), इसलिए 2 इस बहुपद का शून्य है। उदाहरण के लिए, \(f(4)=16\), इसलिए 4 शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक विकल्प को बहुपद में रखकर वह विकल्प चुनें जिसका मान 0 आए। / A number is a zero of a polynomial if the value of the polynomial at that number is zero. \(f(2)=2^2+2(2)-8=4+4-8=0\), so 2 is a zero of the polynomial. For comparison, \(f(4)=16\), so 4 is not a zero. Exam tip: substitute each option into the polynomial and select the one that gives 0.
दिए गए बहुपद में \(x^3\) वाला कोई पद उपस्थित नहीं है। इसलिए उसे \(0x^3\) के रूप में माना जाता है और उसका गुणांक \(0\) होता है। विकल्प A और B क्रमशः \(x^5\) तथा \(x^4\) के गुणांक हैं, जबकि विकल्प D, \(x^2\) का गुणांक है। परीक्षा में जिस घात का पद न दिखे, उसका गुणांक 0 लिखें। / The polynomial has no term containing \(x^3\), so it can be written as \(0x^3\) when all powers are considered. Therefore, the coefficient of \(x^3\) is 0. Options A and B are the coefficients of \(x^5\) and \(x^4\), while option D is the coefficient of \(x^2\). Exam tip: the coefficient of any missing power in a polynomial is 0.
\(q(2)=0\) में \(x=2\) रखने पर \(2^2-2k+6=0\), अर्थात \(10-2k=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(2k=10\) और \(k=5\)। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: यदि किसी बहुपद का \(a\) एक शून्यक है, तो सीधे \(q(a)=0\) रखकर अज्ञात मान ज्ञात करें। / Substituting \(x=2\) in the condition \(q(2)=0\) gives \(2^2-2k+6=0\), so \(10-2k=0\). Hence, \(2k=10\) and \(k=5\), making option C correct. Exam tip: If \(a\) is a zero of a polynomial, substitute \(x=a\) and set the polynomial equal to zero.
दिए गए बहुपद में �(x=-2)� रखने पर �(h(-2)=(-2)2+2(-2)=4-4=0)� प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प D में केवल �(-2)2=4� लिया गया है और �+2(-2)� वाला पद छोड़ दिया गया है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या रखने पर उसे कोष्ठक में लिखें। / Substitute �(x=-2)� in the polynomial: �(h(-2)=(-2)2+2(-2)=4-4=0)�. Therefore, the correct answer is 0. Option D results from considering only �(-2)2=4� and ignoring the term �+2(-2)�. In exams, always use brackets when substituting a negative number.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। विकल्प B में उच्चतम घात वाला पद \(-2x^3\) है, इसलिए उसका प्रमुख गुणांक \(-2\) है। अन्य विकल्पों के प्रमुख गुणांक क्रमशः 5, 1 और 3 हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद की सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उस पद का गुणांक लिखें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In option B, the highest-degree term is \(-2x^3\), so its leading coefficient is \(-2\). The leading coefficients of the other options are 5, 1, and 3. Exam tip: identify the highest power first, then read its coefficient.
बहुपद में \(x\) के स्थान पर 1 रखने पर \(g(1)=3(1)^2-1=3-1=2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। ध्यान रखें कि \(x^2\) का मान पहले निकालकर फिर घटाव करें; केवल \(3x^2\) लेने पर 3 आएगा। / Substituting 1 for \(x\) gives \(g(1)=3(1)^2-1=3-1=2\). Therefore, option B is correct. Remember to evaluate \(x^2\) before performing the subtraction; taking only \(3x^2\) would incorrectly give 3.
पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग किया जाता है। यहाँ पद हैं: \\(4x^2\\), \\(-6x\\) और \\(1\\)। इसलिए कुल 3 पद हैं और यह एक त्रिपद है। परीक्षा में ऋणात्मक चिह्न को पद के साथ ही गिनें; \\(-6x\\) एक ही पद है, दो नहीं। / Terms are separated by plus or minus signs. The terms here are \\(4x^2\\), \\(-6x\\), and \\(1\\), so there are 3 terms and the polynomial is a trinomial. In an exam, count the negative sign with its term; \\(-6x\\) is one term, not two.
नियत पद वह पद होता है जिसमें चर \(x\) शामिल नहीं होता। दिए गए बहुपद में \(12x^2\) और \(-9x\) में \(x\) है, जबकि \(4\) में \(x\) नहीं है; इसलिए सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद का अंतिम, चर-रहित पद अक्सर नियत पद होता है। / The constant term is the term that does not contain the variable \(x\). In the given polynomial, \(12x^2\) and \(-9x\) contain \(x\), whereas 4 does not; therefore, the correct answer is 4. Exam tip: Identify the term independent of the variable to find the constant term.
विकल्प A में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है और उसका गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए इसकी घात 4 है। विकल्प B, C और D की घात क्रमशः 3, 2 और 1 है। परीक्षा में किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए उसमें चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In option A, the greatest exponent of \(x\) is 4 and its coefficient is non-zero, so its degree is 4. The degrees of options B, C and D are 3, 2 and 1, respectively. Exam tip: The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
\(p(0)=2(0)^2+3=0+3=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। यहाँ \(x=0\) रखने पर \(x^2\) वाला पद शून्य हो जाता है और केवल नियत पद बचता है। परीक्षा-युक्ति: \(p(0)\) निकालने के लिए बहुपद में \(x\) के स्थान पर 0 रखें; इससे सामान्यतः नियत पद मिल जाता है। / Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=2(0)^2+3=0+3=3\). Thus, the correct answer is 3. The term containing \(x^2\) becomes zero, leaving the constant term. Exam tip: To find \(p(0)\), replace \(x\) with 0; for a polynomial written in standard form, the result is its constant term.
