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अचर बहुपद के लिए (r+4=0) और (r-1=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (r+4=0) and (r-1=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
स्थिर बहुपद में चर का पद नहीं होता, इसलिए (7) स्थिर बहुपद है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / A constant polynomial has no variable term, so (7) is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
अचर बहुपद के लिए (n-2=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (n-2=0) and (n+1=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
अचर बहुपद के लिए (m+1=0) और (m-2=0) दोनों चाहिए, जो साथ संभव नहीं हैं। सभी चर वाले पद हटने चाहिए। / For a constant polynomial, both (m+1=0) and (m-2=0) are needed, which is impossible together. All variable terms must vanish.
\(p(x)=-18\) को \(-18x^0\) लिखा जा सकता है। बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो; यहाँ वह घात \(0\) है। इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य अचर बहुपद की घात हमेशा 0 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं मानी जाती। / The polynomial \(p(x)=-18\) can be written as \(-18x^0\). The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient; here, that power is \(0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: every non-zero constant polynomial has degree 0, whereas the degree of the zero polynomial is not defined.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक निर्धारित नहीं किया जा सकता और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसके विपरीत, किसी गैर-शून्य नियत बहुपद की घात 0 होती है, इसलिए विकल्प A गलत है। परीक्षा में याद रखें: शून्य बहुपद और गैर-शून्य नियत बहुपद की घात को अलग-अलग समझना चाहिए। / The zero polynomial has no non-zero term, so there is no highest exponent to determine its degree; hence, its degree is not defined. In contrast, a non-zero constant polynomial has degree 0, so option A is incorrect. Exam tip: distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
गैर-शून्य नियत बहुपद का सामान्य रूप c(a), जहाँ c\(a\ne 0\), होता है। इसमें चर की उच्चतम घात 0 मानी जाती है, इसलिए इसकी घात 0 है। ध्यान रखें कि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती; यह प्रश्न गैर-शून्य नियत बहुपद के बारे में है। परीक्षा में नियत बहुपद और शून्य बहुपद को अलग-अलग पहचानें। / A non-zero constant polynomial has the form \(a\), where \(a\ne 0\). Since it contains no variable term, its degree is taken as 0. The degree of the zero polynomial is undefined, but this question refers specifically to a non-zero constant polynomial. In exams, distinguish a non-zero constant polynomial from the zero polynomial.
(2x+1) में चर (x) है इसलिए यह नियत बहुपद नहीं है। नियत बहुपद में चर वाला पद नहीं होता। / (2x+1) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. A constant polynomial has no variable term.
अशून्य अचर बहुपद में चर \(x\) का कोई पद नहीं होता, इसलिए इसे \(12x^0\) लिखा जा सकता है और इसकी घात 0 होती है। विकल्प 12 बहुपद का अचर मान है, घात नहीं। ध्यान रखें कि शून्य बहुपद की घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती, लेकिन यहाँ बहुपद अशून्य है। / A non-zero constant polynomial contains no variable term, so it can be written as \(12x^0\); therefore, its degree is 0. The value 12 is the constant term, not the degree. Remember that the degree of the zero polynomial is generally undefined, but this polynomial is non-zero.
(9) में चर नहीं है इसलिए यह नियत बहुपद है। गैर-शून्य नियत बहुपद की घात (0) होती है। / (9) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
नियत बहुपद में चर का कोई पद नहीं होता और उसका मान स्थिर रहता है। विकल्प A में केवल स्थिर संख्या 6 है, इसलिए यह नियत बहुपद है। विकल्प B, C और D में x उपस्थित है, इसलिए वे नियत बहुपद नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: जिस बहुपद की घात 0 हो, वह नियत बहुपद होता है। / A constant polynomial contains no variable term and has a fixed value. Option A contains only the constant number 6, so it is a constant polynomial. Options B, C, and D contain x, so they are not constant polynomials. Exam tip: A non-zero polynomial of degree 0 is a constant polynomial.
\(5\) एक अशून्य नियत बहुपद है। इसे \(5x^0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसमें चर की उच्चतम घात \(0\) है और बहुपद की घात \(0\) होती है। ध्यान रखें कि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती, लेकिन \(5\) शून्य बहुपद नहीं है। / \(5\) is a non-zero constant polynomial. It can be written as \(5x^0\), so the highest power of the variable is \(0\). Therefore, its degree is \(0\). Remember that the degree of the zero polynomial is undefined, but \(5\) is not the zero polynomial.
(12) शून्य से भिन्न स्थिर बहुपद है और इसकी घात (0) है। (0) बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / The number (12) is a non-zero constant polynomial and its degree is (0). The degree of the zero polynomial is undefined.
स्थिर बहुपद में चर का कोई पद नहीं होता और उसका मान स्थिर रहता है। \(-7\) में चर \(x\) नहीं है, इसलिए यह एक स्थिर बहुपद है। अन्य विकल्पों में \(x\) उपस्थित है, इसलिए वे अचर नहीं बल्कि अशून्य घात वाले बहुपद हैं। परीक्षा में किसी बहुपद को स्थिर पहचानने के लिए उसमें चर की उपस्थिति जाँचें। / A constant polynomial does not contain a variable, so its value remains fixed. Since \(-7\) contains no variable \(x\), it is a constant polynomial. The other options contain \(x\), so they are non-constant polynomials. In an exam, first check whether the variable appears in the expression.
\(p(x)=9\) एक अशून्य स्थिर बहुपद है। इसे \(9x^0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसमें चर \(x\) की उच्चतम घात \(0\) है और बहुपद की घात भी \(0\) होगी। ध्यान रखें कि केवल शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / \(p(x)=9\) is a non-zero constant polynomial. It can be written as \(9x^0\), so the highest power of \(x\) is \(0\), making its degree \(0\). Remember that it is the zero polynomial, not a non-zero constant polynomial, whose degree is undefined.
यदि \(p(x)=5\) तो समीकरण शून्य खोजने के लिये \(p(x)=0\) को हल करना होगा, अर्थात् \(5=0\) — जो असंभव है। ग्राफ \(y=5\) एक क्षैतिज रेखा है जो x-अक्ष को कभी नहीं काटती, अतः वास्तविक शून्यक नहीं हैं। ध्यान रखें कि केवल शून्य बहुपद \(p(x)=0\) के सभी वास्तविक संख्याएँ शून्यक होंगी (अर्थात् अनंत शून्यक)। परीक्षा सुझाव: किसी भी बहुपद के शून्यक पाने के लिये हमेशा \(p(x)=0\) रखें और संभव होने पर समीकरण हल करें। / To find zeros set \(p(x)=0\). For \(p(x)=5\) this gives \(5=0\), which is impossible, so there are no real roots. Geometrically the graph \(y=5\) is a horizontal line that does not meet the x-axis. Note the contrast: the zero polynomial \(p(x)=0\) has every real number as a root (infinitely many). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) to determine number of zeros and check if the polynomial is the zero polynomial first.
C. यह \(x\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटता/It is parallel to the \(x\)-axis and does not cut it
Explanation
Simple Explanation
क्यों सही है: \(p(x)=5\) एक स्थिर बहुपद है जिसका मान हर जगह 5 होता है, अतः इसका आलेख रेखा \(y=5\) है — एक क्षैतिज रेखा जो \(x\)-अक्ष को काटती ही नहीं। निकटतम विचलन और क्यों गलत: विकल्प A (एक बार काटना) सामान्यतः प्रथम-डिग्री बहुपद के लिए सम्भव है, पर यहाँ मान कभी 0 नहीं होता इसलिए कट नहीं होगा। परीक्षा और टिप: किसी बहुपद का शून्यक वह \(x\) है जहाँ \(p(x)=0\); यदि बहुपद स्थिर और शून्य न हो (जैसे 5), तो वास्तविक शून्यक मौजूद नहीं हैं। / Core idea: \(p(x)=5\) is a nonzero constant polynomial, so its graph is the horizontal line \(y=5\). This line never meets the \(x\)-axis, hence it is parallel to the \(x\)-axis and does not cut it. Why the closest distractor is wrong: option A (cuts once) would apply to a linear polynomial with a real root; here \(p(x)\) never equals 0, so no intersection. Exam tip: a zero of a polynomial is an \(x\) with \(p(x)=0\); nonzero constant polynomials have no real zeros.
A. यह \(x\)-अक्ष के समानान्तर एक सीधी रेखा होगा और इसे नहीं काटेगा/It is a straight line parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=4\) एक स्थिर (constant) बहुपद है जहाँ हर x के लिए y का मान 4 रहता है। अतः ग्राफ एक क्षैतिज रेखा \(y=4\) होगा और कभी \(y=0\) नहीं होता, इसलिए कोई x-शून्यक या x-अक्ष पर छेदन नहीं होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि चार बार कटने के लिए बहुपद में x के ऐसे मान चाहिए जिनसे y=0 हो — परन्तु यहाँ \(p(x)\) कभी शून्य नहीं है। विकल्प C और D भी गलत हैं: मूल बिंदु पर जाने के लिए \(p(0)=0\) होना चाहिए और परवलय के लिए बहुपद की डिग्री 2 होनी चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य जानने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें — यदि \(p(x)\) एक गैर-शून्य स्थिर है तो उसके शून्य नहीं होते। / \(p(x)=4\) is a constant polynomial so its graph is the horizontal line \(y=4\). Since \(y\) is never zero, the graph does not cross the x-axis and there are no zeros of the polynomial. Option B is incorrect because intersecting the x-axis requires solutions of \(p(x)=0\); a constant nonzero polynomial has none. Options C and D are also incorrect: passing through the origin needs \(p(0)=0\), and being a parabola requires degree 2, neither of which holds here. Exam tip: To find x-intercepts set \(p(x)=0\); a nonzero constant yields no solution and thus no x-intercepts.
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
(p(x)=5) का ग्राफ (x)-अक्ष के समानांतर रेखा है जो (x)-अक्ष को नहीं काटती। इसलिए इसका कोई शून्यक नहीं है। / The graph of (p(x)=5) is a line parallel to the (x)-axis and does not cut it. Hence it has no zero.
