Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक चर के बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक या शून्य होती है। परीक्षा में ऋणात्मक घात और मूल से बचें। / In a polynomial in one variable, powers of the variable are non-negative integers. In exams, reject negative powers and roots of the variable.
सबसे बड़ी घात (5) है इसलिए बहुपद की घात (5) है। हमेशा सबसे ऊंची घात देखें। / The highest power is (5), so the degree is (5). Always check the highest exponent.
\(x^2\) के साथ लगा संख्या गुणक (2) है। गुणांक पूछने पर उसी पद को पहचानें। / The numerical factor attached to \(x^2\) is (2). When coefficient is asked, identify the exact term.
अलग अलग पद \(2x^3\), \(-5x^2\), (4x) और (-1) हैं। चिह्न के साथ पद गिनें। / The separate terms are \(2x^3\), \(-5x^2\), (4x), and (-1). Count terms with their signs.
(q(-1)=-1-4-1+6=0)। ऋणात्मक संख्या की घात लगाते समय संकेत पर ध्यान दें। / (q(-1)=-1-4-1+6=0). Pay attention to signs while using powers of a negative number.
इसमें तीन पद हैं इसलिए यह त्रिपदी है। पदों की संख्या से प्रकार पहचानें। / It has three terms, so it is a trinomial. Identify the type by counting terms.
द्विघात बहुपद के लिए \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(a\ne0\) जरूरी है। / For a quadratic polynomial, the coefficient of \(x^2\) must not be zero. Hence \(a\ne0\) is necessary.
अशून्य अचर बहुपद की घात (0) होती है। शून्य बहुपद से इसे अलग रखें। / A non-zero constant polynomial has degree (0). Keep it separate from the zero polynomial.
\(0x^3\) पद प्रभावी नहीं है और सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। शून्य गुणांक वाले पद को नजरअंदाज करें। / The term \(0x^3\) is ineffective, and the highest non-zero power is (4). Ignore terms with zero coefficient.
(p(2)=2-2=0), इसलिए (x=2) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर (0) देखें। / (p(2)=2-2=0), so (x=2) is its zero. To test a zero, substitute and check for (0).
(ax+b) में \(a\ne0\) होने पर (x) की सबसे बड़ी घात (1) है। इसलिए घात (1) होगी। / When \(a\ne0\) in (ax+b), the highest power of (x) is (1). So the degree is (1).
सबसे बड़ी घात \(y^4\) के पद का गुणांक (9) है। अग्र गुणांक वही होता है। / The coefficient of the highest power term \(y^4\) is (9). That is the leading coefficient.
\(x^3\) के साथ गुणांक (4) जुड़ा है। घात और गुणांक को अलग अलग पहचानें। / The coefficient attached to \(x^3\) is (4). Identify the exponent and coefficient separately.
मानक रूप में बड़ी घात से छोटी घात की ओर लिखते हैं। \(5x^3+2x-1\) इसी क्रम में है। / In standard form, terms are written from highest power to lowest power. \(5x^3+2x-1\) follows this order.
(p(x)-r(x)=5x-2+3x-2-\(2x^2-x+4\)=3x-2+4x-6)। घटाते समय सभी संकेत बदलें। / (p(x)-r(x)=5x-2+3x-2-\(2x^2-x+4\)=3x-2+4x-6). Change all signs while subtracting.
प्रत्येक पद को (2x) से गुणा करने पर \(6x^3-10x^2+2x\) मिलता है। वितरण नियम का प्रयोग करें। / Multiplying each term by (2x) gives \(6x^3-10x^2+2x\). Use the distributive property.
(p(2)=4+2k+6=0), इसलिए (2k=-10) और (k=-5)। शून्य की शर्त में मान रखकर समीकरण बनाएं। / (p(2)=4+2k+6=0), so (2k=-10) and (k=-5). Substitute the zero and form an equation.
\(4x^3+x-9\) बहुपद है और इसकी घात (3) है। इसलिए यह द्विघात नहीं है। / \(4x^3+x-9\) is a polynomial and its degree is (3). Therefore it is not quadratic.
(7x-14=0) से (x=2) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य जल्दी निकालने के लिए समीकरण हल करें। / From (7x-14=0), we get (x=2). Solve the equation to find the zero of a linear polynomial.
(3x+12=0) से (x=-4) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (3x+12=0), we get (x=-4). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
(ax+b=0) से \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। सामान्य सूत्र याद रखें लेकिन संकेत न भूलें। / From (ax+b=0), we get \(x=-\frac{b}{a}\). Remember the general formula but do not miss the sign.
(x) वाला पद (0x) है इसलिए (x) का गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) मानें। / The (x)-term is (0x), so the coefficient of (x) is (0). Treat a missing term as having coefficient (0).
इस बहुपद में \(x^3\) का पद नहीं है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / The term \(x^3\) is not present in this polynomial. A missing term has coefficient (0).
बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे महत्वपूर्ण पहचान नियम है। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers like \(0,1,2,\ldots\). This is the key identification rule.
\(x^2+y+1\) में दो चर (x) और (y) हैं। इसलिए यह एक चर वाला बहुपद नहीं है। / \(x^2+y+1\) has two variables (x) and (y). Therefore it is not a polynomial in one variable.
(p\left\(\frac{3}{2}\right\)=4\cdot\frac{9}{4}-18+9=0)। भिन्न मान रखते समय पहले वर्ग ठीक से निकालें। / (p\left\(\frac{3}{2}\right\)=4\cdot\frac{9}{4}-18+9=0). While substituting a fraction, square it carefully first.
इसमें (x) का पद उपस्थित नहीं है इसलिए उसका गुणांक (0) है। अनुपस्थित पद को (0x) समझें। / There is no (x)-term, so its coefficient is (0). Treat the missing term as (0x).
पहले बहुपद में (x) का गुणांक (-2) और दूसरे में (4) है, योग (2) है। समान घात के गुणांक ही जोड़ें। / The coefficient of (x) is (-2) in the first polynomial and (4) in the second, so the sum is (2). Add coefficients of like powers only.
B. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=x-2+1) में सबसे बड़ी घात (2) है इसलिए यह द्विघात बहुपद है। घात से वर्गीकरण करें। / In (p(x)=x-2+1), the highest power is (2), so it is a quadratic polynomial. Classify by degree.
घात (2) होने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए, इसलिए (m-2=0) और (m=2)। परीक्षा में सबसे ऊंची घात के गुणांक को पहले देखें। / For the degree to be (2), the coefficient of \(x^3\) must be (0), so (m-2=0) and (m=2). In exams, check the coefficient of the highest power first.
(p(0)=-4) और (p(1)=2-5+7-4=0), इसलिए योग (-4+4=0) नहीं बल्कि (-4+0=-4)। सही गणना में (p(0)+p(1)=-4) होता है। / (p(0)=-4) and (p(1)=2-5+7-4=0), so (p(0)+p(1)=-4). Always substitute each value separately before adding.
(p(1)=1-3+3-1=0), इसलिए (1) इस बहुपद का शून्य है। विकल्पों को रखने से शून्य जल्दी मिल सकता है। / (p(1)=1-3+3-1=0), so (1) is a zero of this polynomial. Substituting options can quickly identify the zero.
(p(-3)=9k-18+9=0), इसलिए (9k-9=0) और (k=1)। दिए गए शून्य को रखकर अज्ञात गुणांक निकालें। / (p(-3)=9k-18+9=0), so (9k-9=0) and (k=1). Substitute the given zero to find the unknown coefficient.
(p(2)=12+2b-10=0), इसलिए (2b=-2) और (b=-1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=12+2b-10=0), so (2b=-2) and (b=-1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
