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बहुपद की घात 3 होने के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए, ताकि पाँचवीं घात वाला पद समाप्त हो जाए। इसलिए \(k-3=0\), जिससे \(k=3\) प्राप्त होता है। तब बहुपद \(2x^3-x+9\) बनता है और इसकी घात वास्तव में 3 है। ध्यान रखें कि केवल सबसे बड़े घात वाले पद का गुणांक शून्य करने से उसकी घात घटती है; विकल्प \(2\) लेने पर घात 5 ही रहेगी। / For the polynomial to have degree 3, the coefficient of \(x^5\) must be zero so that the fifth-degree term disappears. Thus, \(k-3=0\), giving \(k=3\). The polynomial then becomes \(2x^3-x+9\), whose degree is indeed 3. Exam tip: set the coefficient of every term with a degree higher than the required degree to zero; for \(k=2\), the degree would remain 5.
सबसे बड़ी घात \(z^5\) के पद का गुणांक (-6) है। अग्र गुणांक संकेत सहित लिखा जाता है। / The coefficient of the highest power term \(z^5\) is (-6). The leading coefficient is written with its sign.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। \(3x^2+x+1\) में उच्चतम घात वाला पद \(3x^2\) है, इसलिए इसका प्रमुख गुणांक 3 है, 1 नहीं। अन्य तीन बहुपदों के प्रमुख पदों के गुणांक क्रमशः 1, 1 और 1 हैं। परीक्षा-युक्ति: जिस पद की घात सबसे अधिक हो, उसके गुणांक को प्रमुख गुणांक पहचानें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In \(3x^2+x+1\), the highest-degree term is \(3x^2\), so its leading coefficient is 3, not 1. The leading coefficients of the other three polynomials are all 1. Exam tip: Identify the highest-degree term first, then read its coefficient.
बहुपद में सबसे अधिक घात वाला पद प्रमुख पद कहलाता है। यहाँ सबसे अधिक घात वाला पद \(3x^4\) है, इसलिए इसका प्रमुख गुणांक 3 है। \(-5\,x^2\) का गुणांक होने के कारण -5 आकर्षक विकल्प है, लेकिन वह प्रमुख गुणांक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद की घात पहचानें, फिर उस पद के संख्यात्मक गुणांक को चुनें। / The term with the highest power of the variable is called the leading term. Here, the leading term is \(3x^4\), so its leading coefficient is 3. Although -5 is also a coefficient in the polynomial, it belongs to the lower-degree term \(-5x^2\), not the leading term. Exam tip: identify the highest power first, then select the numerical coefficient of that term.
किसी बहुपद का प्रमुख गुणांक उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक होता है। विकल्प B में उच्चतम घात वाला पद \(-2x^3\) है, इसलिए उसका प्रमुख गुणांक \(-2\) है। अन्य विकल्पों के प्रमुख गुणांक क्रमशः 5, 1 और 3 हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद की सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उस पद का गुणांक लिखें। / The leading coefficient of a polynomial is the coefficient of the term with the highest power of the variable. In option B, the highest-degree term is \(-2x^3\), so its leading coefficient is \(-2\). The leading coefficients of the other options are 5, 1, and 3. Exam tip: identify the highest power first, then read its coefficient.
A. p(1) = 0; 1 बहुपद का शून्य है/1 is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
x = 1 रखने पर p(1) = 2(1)2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0। जिस x-मान पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, वह बहुपद का शून्य कहलाता है; इसलिए 1 बहुपद का शून्य है। विकल्प B में p(1) का मान गलत निकाला गया है, जबकि बहुपद की घात 2 और अग्रणी गुणांक 2 है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के शून्य होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर मान अवश्य निकालें। / Substituting x = 1 gives p(1) = 2(1)2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0. A value of x for which a polynomial becomes zero is called a zero of that polynomial; therefore, 1 is a zero. Option B incorrectly evaluates p(1), while the degree and leading coefficient of the polynomial are both 2, not 1. Exam tip: To test whether a number is a zero, substitute it in the polynomial and check whether the result is 0.
बहुपद में सबसे बड़ी घात वाला पद \(9y^4\) है। इस पद का गुणांक 9 होता है, इसलिए बहुपद का अग्र गुणांक 9 है। विकल्प B में दिया गया -1, \(y^2\) के पद का गुणांक है, अग्र गुणांक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले बहुपद की सबसे बड़ी घात पहचानें, फिर उस पद का गुणांक लिखें। / The term with the highest power in the polynomial is \(9y^4\). Its coefficient is 9, so the leading coefficient is 9. The value -1 in option B is the coefficient of the \(y^2\) term, not the leading term. Exam tip: identify the highest-degree term first, then take its coefficient.
प्रमुख पद \(3x^2\) है इसलिए प्रमुख गुणांक (3) है। सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक प्रमुख गुणांक कहलाता है। / The leading term is \(3x^2\), so the leading coefficient is (3). The coefficient of the highest degree term is the leading coefficient.
बहुपद में सबसे बड़ी घात वाला पद \(2x^2\) है। इस पद का गुणांक 2 है, इसलिए अग्र गुणांक 2 होगा।
परीक्षा-युक्ति: अग्र गुणांक ज्ञात करने के लिए बहुपद को घटती हुई घातों में लिखकर सबसे पहले आने वाले पद का गुणांक देखें; इसे चर के उच्चतम घात वाले पद से भ्रमित न करें। / The term with the highest power of \(x\) is \(2x^2\). Its coefficient is 2, so the leading coefficient is 2. The coefficients of the other terms, -7 and 1, are not the leading coefficient.
Exam tip: Arrange the polynomial in descending powers and identify the coefficient of the highest-degree term.
बहुपद में सबसे बड़ी घात वाला पद \\(6x^5\\) है। इस पद के संख्यात्मक गुणांक को अग्र गुणांक कहते हैं, इसलिए सही उत्तर \\(6\\) है। ध्यान रखें कि \\(5\\) बहुपद की घात है, अग्र गुणांक नहीं। / The term with the highest power is \\(6x^5\\). The numerical coefficient of this term is called the leading coefficient, so the correct answer is \\(6\\). Remember that \\(5\\) is the degree of the polynomial, not its leading coefficient.
A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\)/\(k^2<9\) and \(k\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.
मॉनिक समीकरण \(x^2-x-6=0\) है। \(x^2\) का गुणांक (2) चाहिए, इसलिए पूरे समीकरण को (2) से गुणा करें। / The monic equation is \(x^2-x-6=0\). Since the coefficient of \(x^2\) must be (2), multiply the whole equation by (2).
(x=4) रखने पर (16a-40+8=0) इसलिए (16a=32) और (a=2)। अज्ञात गुणांक में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=4) gives (16a-40+8=0), so (16a=32) and (a=2). Substitute when a coefficient is unknown.
(x=3) रखने पर (9a-24+6=0) इसलिए (9a=18) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=3) gives (9a-24+6=0), so (9a=18) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
(x=2) रखने पर (4a-10+2=0) इसलिए (4a=8) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=2) gives (4a-10+2=0), so (4a=8) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
द्विघात पद का गुणांक ((k-1)) है जो (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k\neq1\) होना जरूरी है। / The coefficient of the quadratic term is ((k-1)), which must not be (0). Hence \(k\neq1\) is necessary.
द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुसार चर का उच्चतम घात 2 होना चाहिए। समीकरण में \(x^2\) का गुणांक \(p\) शून्य न हो — यानी \(p\neq0\) — तभी समीकरण द्विघात होगा। यदि \(p=0\) हो तो \(x^2\) का पद गायब हो जाएगा और समीकरण रैखिक या कम डिग्री का बन जाएगा, इसलिए विकल्प A गलत है। विकल्प C और D (\(q=0\) या \(r=0\)) केवल कुछ पदों के हटने को दर्शाते हैं, पर वे डिग्री को बदलते नहीं जब तक \(p\neq0\) बना रहे। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री देखने के लिए सबसे बड़ा घात और उसके गुणांक (leading coefficient) की जाँच करें। / By definition a quadratic equation must have the highest power of the variable equal to 2. That requires the coefficient of \(x^2\), namely \(p\), to be nonzero, i.e. \(p\neq0\). If \(p=0\) the \(x^2\) term disappears and the equation becomes linear (or lower degree), so option A is incorrect. Options C and D (\(q=0\) or \(r=0\)) merely eliminate other terms but do not change the degree as long as \(p\neq0\). Exam tip: always check the leading coefficient to determine if an equation is quadratic.
