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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं जब विवर्तक \(D=b^2-4ac>0\) हो। विकल्प C में \(D=(-5)^2-4(1)(6)=1>0\) है। A और D में \(D=0\) होने से समान मूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: मूलों की प्रकृति के लिए पहले विवर्तक जाँचें। / For \(ax^2+bx+c=0\), roots are real and distinct when the discriminant \(D=b^2-4ac>0\). In option C, \(D=(-5)^2-4(1)(6)=1>0\). Options A and D have \(D=0\), so they give equal roots. Exam tip: check the discriminant first to identify root nature.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+1)2-4(p+4)(p-2)=36>0) है। \(p\neq-4\) से समीकरण द्विघात रहता है और मूल भिन्न होते हैं। / Here (D=4(p+1)2-4(p+4)(p-2)=36>0). Since \(p\neq-4\), the equation remains quadratic and roots are distinct.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a-5)2-4\(a^2-10a+21\)=16>0) है। इसलिए हर वास्तविक (a) के लिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। / Here (D=4(a-5)2-4\(a^2-10a+21\)=16>0). Therefore the roots are real and distinct for every real (a).
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे; \(a\) परिमेय होने पर वे परिमेय भी होंगे/The roots will always be real and distinct; they will also be rational when \(a\) is rational
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+4)\) और \(C=a^2+8a+15\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\)। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(a+3\) और \(a+5\) हैं; इसलिए \(a\) परिमेय होने पर ही ये परिमेय होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D\neq0\), और विकल्प D गलत है क्योंकि \(a\) परिमेय होने पर मूल परिमेय हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here \(A=1\), \(B=-2(a+4)\), and \(C=a^2+8a+15\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\). Hence, the roots are always real and distinct. In fact, the roots are \(a+3\) and \(a+5\); thus, they are rational when \(a\) is rational. Option B is incorrect because \(D\neq0\), and option D is incorrect because rational values of \(a\) give rational roots. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=2(n+2)\) और \(c=n^2+4n+1\) हैं। इसलिए \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), जो प्रत्येक वास्तविक \(n\) के लिए धनात्मक है। अतः मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=2(n+2)\), and \(c=n^2+4n+1\). Thus, \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), which is positive for every real value of \(n\). Therefore, the roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2-6k+8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+8)=4\)। चूँकि \(D=4>0\) प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए है, इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से दो वास्तविक और असमान मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2-6k+8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+8)=4\). Since \(D=4>0\) for every real value of \(k\), the roots are always real and distinct. Exam tip: \(D>0\) indicates two real and unequal roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)>0\), जिससे \(a<-2\) या \(a>1\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) या \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A quadratic equation has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)>0\), which gives \(a<-2\) or \(a>1\). At \(a=-2\) or \(a=1\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=4ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-16ab=4(a-b)^2\)। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \((a-b)^2>0\) और \(D>0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=4ab\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-16ab=4(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), we have \((a-b)^2>0\), so \(D>0\). Hence, the roots are real and distinct. Equal roots occur only when \(D=0\), so option B is not correct. Exam tip: for a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots.
यहाँ a=1, b=−2(m−4) और c=m²−16 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=32(4-m)\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) आवश्यक है, इसलिए \(32(4-m)>0\), जिससे \(m<4\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(m=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं; इसलिए \(m\le4\) सही शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / Here, a=1, b=−2(m−4), and c=m²−16. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=32(4-m)\). Real and distinct roots require \(D>0\), so \(32(4-m)>0\), which gives \(m<4\). Note that when \(m=4\), \(D=0\) and the roots are equal; hence \(m\le4\) is not the correct condition. Exam tip: determine the sign of the discriminant first when analysing the nature of quadratic roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2m, c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)>0\), जिससे \(m<0\) या \(m>3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1, b=-2m, c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Therefore, \(4m(m-3)>0\), which gives \(m<0\) or \(m>3\). At \(m=0\) or \(m=3\), the discriminant is zero, so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For real and distinct roots, apply \(D>0\).
यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+b)\) और \(C=ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\) होगा। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \(\Delta>0\), और दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसके मूल \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(a=b\), जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-(a+b)\), and \(C=ab\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), \(\Delta>0\), so the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-a)(x-b)=0\), giving the roots \(a\) and \(b\). Option B would apply only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta>0\) indicates two real and distinct roots.
A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\)/\(k^2<9\) and \(k\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.
द्विघात समीकरण में \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\) और \\(c=k^2\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, इसलिए \\(2k+1>0\\), अर्थात \\(k>-\\frac{1}{2}\\)। \\(k=-\\frac{1}{2}\\) पर \\(D=0\\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / For the quadratic equation, \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\), and \\(c=k^2\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\). Distinct real roots require \\(D>0\\), so \\(2k+1>0\\), which gives \\(k>-\\frac{1}{2}\\). At \\(k=-\\frac{1}{2}\\), \\(D=0\\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: determine the sign of the discriminant before classifying the roots.
A. दो वास्तविक और असमान ((D=16))/Two real and distinct ((D=16))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-2)2-4(1)(-3)=16) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से दो परिमेय असमान मूल मिलते हैं। / Here (D=(-2)2-4(1)(-3)=16). A positive perfect-square (D) gives two rational distinct roots.
समीकरण \(x^2+px+4=0\) में \(a=1\), \(b=p\) और \(c=4\) हैं। मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से अधिक होना चाहिए। इसलिए \(D=p^2-16>0\), अर्थात \(p^2>16\)। \(p^2=16\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For \(x^2+px+4=0\), we have \(a=1\), \(b=p\), and \(c=4\). Real and distinct roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be positive. Thus, \(D=p^2-16>0\), which gives \(p^2>16\). If \(p^2=16\), the roots are equal, so option B is incorrect. Exam tip: remember that distinct real roots require \(D>0\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
(D=9>0) होने से दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलेंगे। (D>0) का अर्थ दो अलग वास्तविक मूल है। / Since (D=9>0), two real and distinct roots are obtained. (D>0) means two different real roots.
(D=16>0) है इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। धनात्मक (D) हमेशा भिन्न वास्तविक मूल देता है। / Since (D=16>0), the roots are real and distinct. Positive (D) always gives distinct real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(D=9>0\\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और एक-दूसरे से भिन्न होंगे। समान वास्तविक मूल के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में याद रखें: \\(D>0\\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(D=9>0\\), so the two roots are real and distinct. Equal real roots require \\(D=0\\), so option B is incorrect. Exam tip: \\(D>0\\) indicates real and distinct roots.
