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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि \(a\ne b\) तथा \(a,b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण \(x^2-(a+b)x+ab=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(a\ne b\) and \(a,b\) are real numbers, what is the nature of the roots of the equation \(x^2-(a+b)x+ab=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. वास्तविक और भिन्नReal and distinct

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+b)\) और \(C=ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\) होगा। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \(\Delta>0\), और दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसके मूल \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(a=b\), जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-(a+b)\), and \(C=ab\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), \(\Delta>0\), so the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-a)(x-b)=0\), giving the roots \(a\) and \(b\). Option B would apply only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta>0\) indicates two real and distinct roots.

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यदि \(a\ne b\) तथा \(a,b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण \(x^2-(a+b)x+ab=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If \(a\ne b\) and \(a,b\) are real numbers, what is the nature of the roots of the equation \(x^2-(a+b)x+ab=0\)?

Correct Answer: A. वास्तविक और भिन्न / Real and distinct. Explanation: यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+b)\) और \(C=ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\) होगा। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \(\Delta>0\), और दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसके मूल \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(a=b\), जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-(a+b)\), and \(C=ab\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), \(\Delta>0\), so the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-a)(x-b)=0\), giving the roots \(a\) and \(b\). Option B would apply only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta>0\) indicates two real and distinct roots.