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parameterized equations MCQ Questions for Class 10

parameterized equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

6 questions tagged with parameterized equations.

Question 1/6 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

समीकरण \(x^2-2rx+(r^2+25)=0\) के लिए, जहाँ \(r\) कोई भी वास्तविक संख्या है, मूलों की प्रकृति के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

For the equation \(x^2-2rx+(r^2+25)=0\), where \(r\) is any real number, what is the correct conclusion about the nature of its roots?

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Correct Answer

A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+25\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\)। चूँकि \(D<0\) हर वास्तविक \(r\) के लिए है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता; यहाँ विविक्तकर सदैव ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+25\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is always negative. Exam tip: For a quadratic with real coefficients, \(D<0\) means that it has no real roots.

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Question 2/6 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

यदि \(x^2-2px+(p^2+16)=0\) हो, तो \(p\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए इस द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(x^2-2px+(p^2+16)=0\), what will be the nature of its roots for any real value of \(p\)?

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Correct Answer

A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+16\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+16\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\). Since \(D<0\) for every real value of \(p\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: a negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots.

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Question 3/6 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

यदि \(n\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(x^2+2(n+2)x+n^2+4n+1=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(n\) is any real number, what is the nature of the roots of the equation \(x^2+2(n+2)x+n^2+4n+1=0\)?

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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और भिन्नAlways real and distinct

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=2(n+2)\) और \(c=n^2+4n+1\) हैं। इसलिए \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), जो प्रत्येक वास्तविक \(n\) के लिए धनात्मक है। अतः मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=2(n+2)\), and \(c=n^2+4n+1\). Thus, \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), which is positive for every real value of \(n\). Therefore, the roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.

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Question 4/6 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

यदि समीकरण \(x^2-2hx+h^2+8h=0\) के दोनों मूल समान हों, तो \(h\) का मान क्या होगा?

If the quadratic equation \(x^2-2hx+h^2+8h=0\) has equal roots, what is the value of \(h\)?

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Correct Answer

A. \(h=0\)

Explanation

Simple Explanation

समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2h\) और \(c=h^2+8h\) हैं। इसलिए \(D=(-2h)^2-4(1)(h^2+8h)=-32h\)। \(-32h=0\) से \(h=0\) प्राप्त होता है। वास्तव में, इस मान पर समीकरण \(x^2=0\) बनता है, जिसके दोनों मूल \(0\) हैं। परीक्षा-टिप: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=-2h\), and \(c=h^2+8h\). Thus, \(D=(-2h)^2-4(1)(h^2+8h)=-32h\). Setting \(-32h=0\) gives \(h=0\). Indeed, for this value the equation becomes \(x^2=0\), whose two roots are both \(0\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, immediately use the condition \(D=0\).

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Question 5/6 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि \(p\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(x^2+2px+p^2-1=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(p\) is any real number, what will be the nature of the roots of the equation \(x^2+2px+p^2-1=0\)?

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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और भिन्नAlways real and distinct

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.

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Question 6/6 Medium Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

समीकरण \(x^2+2x+k=0\) के कोई वास्तविक मूल न हों, इसके लिए \(k\) पर कौन-सी शर्त सही है?

Which condition on \(k\) ensures that the equation \(x^2+2x+k=0\) has no real roots?

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Correct Answer

A. \(k>1\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(k)=4-4k\) है। अतः \(4-4k<0\), जिससे \(k>1\) प्राप्त होता है। \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Thus, \(4-4k<0\), which gives \(k>1\). If \(k=1\), then \(D=0\), so the equation has two equal real roots; hence option B is incorrect. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.

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