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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि \(p\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(x^2+2px+p^2-1=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(p\) is any real number, what will be the nature of the roots of the equation \(x^2+2px+p^2-1=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और भिन्नAlways real and distinct

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.

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यदि \(p\) कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण \(x^2+2px+p^2-1=0\) के मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If \(p\) is any real number, what will be the nature of the roots of the equation \(x^2+2px+p^2-1=0\)?

Correct Answer: A. हमेशा वास्तविक और भिन्न / Always real and distinct. Explanation: द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.