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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 38

समीकरण \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(a\) का कौन-सा मान-समुच्चय आवश्यक है?

For which values of \(a\) will the equation \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) have real and distinct roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a<-2\) या \(a>1\)\(a<-2\) or \(a>1\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)>0\), जिससे \(a<-2\) या \(a>1\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) या \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A quadratic equation has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)>0\), which gives \(a<-2\) or \(a>1\). At \(a=-2\) or \(a=1\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.

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समीकरण \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(a\) का कौन-सा मान-समुच्चय आवश्यक है? / For which values of \(a\) will the equation \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) have real and distinct roots?

Correct Answer: A. \(a<-2\) या \(a>1\) / \(a<-2\) or \(a>1\). Explanation: द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)>0\), जिससे \(a<-2\) या \(a>1\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) या \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A quadratic equation has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)>0\), which gives \(a<-2\) or \(a>1\). At \(a=-2\) or \(a=1\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.