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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

समीकरण \(kx^2-6x+k=0\) के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(k\) की सही शर्त क्या है?

What is the correct condition on \(k\) for the equation \(kx^2-6x+k=0\) to have real and distinct roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\)\(k^2<9\) and \(k\ne0\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.

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समीकरण \(kx^2-6x+k=0\) के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए \(k\) की सही शर्त क्या है? / What is the correct condition on \(k\) for the equation \(kx^2-6x+k=0\) to have real and distinct roots?

Correct Answer: A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) / \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Explanation: यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.