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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

समीकरण \\(x^2-2(k+1)x+k^2=0\\) के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए \\(k\\) का कौन-सा मानदंड सही है?

What is the correct condition on \\(k\\) for the roots of the equation \\(x^2-2(k+1)x+k^2=0\\) to be real and distinct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \\(k>-\\frac{1}{2}\\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\) और \\(c=k^2\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, इसलिए \\(2k+1>0\\), अर्थात \\(k>-\\frac{1}{2}\\)। \\(k=-\\frac{1}{2}\\) पर \\(D=0\\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / For the quadratic equation, \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\), and \\(c=k^2\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\). Distinct real roots require \\(D>0\\), so \\(2k+1>0\\), which gives \\(k>-\\frac{1}{2}\\). At \\(k=-\\frac{1}{2}\\), \\(D=0\\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: determine the sign of the discriminant before classifying the roots.

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समीकरण \\(x^2-2(k+1)x+k^2=0\\) के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए \\(k\\) का कौन-सा मानदंड सही है? / What is the correct condition on \\(k\\) for the roots of the equation \\(x^2-2(k+1)x+k^2=0\\) to be real and distinct?

Correct Answer: A. \\(k>-\\frac{1}{2}\\). Explanation: द्विघात समीकरण में \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\) और \\(c=k^2\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, इसलिए \\(2k+1>0\\), अर्थात \\(k>-\\frac{1}{2}\\)। \\(k=-\\frac{1}{2}\\) पर \\(D=0\\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / For the quadratic equation, \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\), and \\(c=k^2\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\). Distinct real roots require \\(D>0\\), so \\(2k+1>0\\), which gives \\(k>-\\frac{1}{2}\\). At \\(k=-\\frac{1}{2}\\), \\(D=0\\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: determine the sign of the discriminant before classifying the roots.