Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी घात परिभाषित नहीं होती। स्थिर अशून्य बहुपद की घात (0) होती है। / The zero polynomial has no non-zero term, so its degree is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(p(x)=-18\) को \(-18x^0\) लिखा जा सकता है। बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो; यहाँ वह घात \(0\) है। इसलिए सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य अचर बहुपद की घात हमेशा 0 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं मानी जाती। / The polynomial \(p(x)=-18\) can be written as \(-18x^0\). The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient; here, that power is \(0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: every non-zero constant polynomial has degree 0, whereas the degree of the zero polynomial is not defined.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक निर्धारित नहीं किया जा सकता और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसके विपरीत, किसी गैर-शून्य नियत बहुपद की घात 0 होती है, इसलिए विकल्प A गलत है। परीक्षा में याद रखें: शून्य बहुपद और गैर-शून्य नियत बहुपद की घात को अलग-अलग समझना चाहिए। / The zero polynomial has no non-zero term, so there is no highest exponent to determine its degree; hence, its degree is not defined. In contrast, a non-zero constant polynomial has degree 0, so option A is incorrect. Exam tip: distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
गैर-शून्य नियत बहुपद का सामान्य रूप c(a), जहाँ c\(a\ne 0\), होता है। इसमें चर की उच्चतम घात 0 मानी जाती है, इसलिए इसकी घात 0 है। ध्यान रखें कि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती; यह प्रश्न गैर-शून्य नियत बहुपद के बारे में है। परीक्षा में नियत बहुपद और शून्य बहुपद को अलग-अलग पहचानें। / A non-zero constant polynomial has the form \(a\), where \(a\ne 0\). Since it contains no variable term, its degree is taken as 0. The degree of the zero polynomial is undefined, but this question refers specifically to a non-zero constant polynomial. In exams, distinguish a non-zero constant polynomial from the zero polynomial.
जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य हों, उसे शून्य बहुपद कहते हैं; इसलिए \(p(x)=0\) शून्य बहुपद है। इसे केवल अशून्य अचर बहुपद नहीं कहा जाता, क्योंकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं मानी जाती। परीक्षा में याद रखें: शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है। / A polynomial whose all coefficients are zero is called the zero polynomial; therefore, \(p(x)=0\) is the zero polynomial. It is not classified as a non-zero constant polynomial, and its degree is considered undefined. Exam tip: remember that the degree of the zero polynomial is undefined.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे गैर-शून्य नियत बहुपद से अलग याद रखें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Remember it separately from a non-zero constant polynomial.
(0) को शून्य बहुपद कहते हैं क्योंकि इसका हर गुणांक शून्य होता है। इसकी घात पर सामान्य घात नियम न लगाएं। / (0) is the zero polynomial because every coefficient is zero. Do not apply the usual degree rule to it.
जिस बहुपद का प्रत्येक गुणांक शून्य हो और जिसका मान सभी \(x\) के लिए शून्य हो, उसे शून्य बहुपद कहते हैं। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती, इसलिए इसे रैखिक, द्विघात या घन बहुपद नहीं कहा जाता। परीक्षा-युक्ति: \(p(x)=0\) को शून्य बहुपद तभी समझें जब यह सभी \(x\) के लिए पहचान (identity) के रूप में सत्य हो। / A polynomial whose value is zero for every \(x\), with all its coefficients equal to zero, is called the zero polynomial. Its degree is undefined, so it is not classified as linear, quadratic, or cubic. Exam tip: Interpret \(p(x)=0\) as the zero polynomial when it is true identically for every \(x\).
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे स्थिर शून्य से भिन्न बहुपद से अलग रखें। / The degree of the zero polynomial is undefined. In exams, keep it separate from a non-zero constant polynomial.
A. पूरा x-अक्ष (यानी रेखा \(y=0\))/The whole x-axis (i.e. the line \(y=0\))
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का अर्थ है हर वास्तविक x के लिए \(y=p(x)=0\)। इसलिए ग्राफ उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनके y‑निर्देशांक शून्य हैं, अर्थात् रेखा \(y=0\) (x-अक्ष) पूरी तरह शामिल है। विकल्प D गलत है क्योंकि यह केवल उद्गम को बताता है जबकि असल में अनन्त कई बिंदु (पूरे x-अक्ष) होते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष वह लंबवत रेखा \(x=0\) है, जो अलग है। विकल्प C स्पष्टत: गलत है क्योंकि हर x के लिए एक y मान मौजूद है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का ग्राफ हमेशा y = p(x) होता है — शून्य बहुपद के लिए यही रेखा y=0 बनती है। / The zero polynomial \(p(x)=0\) yields \(y=p(x)=0\) for every real x. Thus the graph consists of all points whose y-coordinate is zero — the entire line \(y=0\), i.e. the x-axis. Option D is incorrect because the graph is not just the origin; it contains infinitely many points (every (x,0)). Option B is wrong since the y-axis is the vertical line \(x=0\), not \(y=0\). Option C is false because a value exists for every x. Exam tip: Remember the graph of a polynomial is the set of points \((x,p(x))\); plug in the definition to see the shape quickly.
A. आलेख x-अक्ष ही है/The graph is the x-axis itself
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद का अर्थ है p(x)=0 हर वास्तविक x के लिए। इसलिए सभी बिंदु (x,0) आलेख में होते हैं, जो पूरी x-अक्ष बनाते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष वह रेखा है जहाँ x=0 (एक लंबवत रेखा), न कि हर x के लिए y=0। विकल्प C गलत है क्योंकि "ऊपर स्थित" का मतलब y>0 है, जबकि यहाँ y=0 होता है। विकल्प D गलत है क्योंकि आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है (वास्तव में वही है)। परीक्षा टिप: जब बहुपद शून्य रहता है तो ग्राफ y=0 होता है; शून्य बहुपद की डिग्री सामान्यतः परिभाषित नहीं होती (कुछ संदर्भों में −∞)। / The zero polynomial satisfies p(x)=0 for every real x, so the graph consists of all points (x,0) — i.e. the x-axis. B is wrong because the y-axis is the vertical line x=0, not y=0 for all x. C is wrong because "above the x-axis" means y>0, but here y=0. D is wrong because the graph does touch the x-axis at every point (it is the x-axis). Exam tip: check p(x) for an arbitrary x; if p(x)=0 always then the graph is y=0. Note: the degree of the zero polynomial is not normally defined (sometimes taken as −∞).
किसी बहुपद का शून्यक (root) वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो। शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का मान हर वास्तविक \(x\) के लिए शून्य होता है, इसलिए प्रत्येक \(x\) एक शून्यक है। निकटतम ग़लत विकल्प B और C केवल धनात्मक या केवल ऋणात्मक संख्याएँ कहकर वर्गीकरण कर रहे हैं — पर शून्य बहुपद के लिए सभी वास्तविक संख्याएँ शून्यक हैं, केवल धनात्मक/ऋणात्मक पर सीमित नहीं। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को अलग केस समझें — उसके सभी निर्देशांक (domain) शून्यक बनाते हैं। / A root (zero) of a polynomial is an x-value where the polynomial evaluates to 0. For the zero polynomial \(p(x)=0\), the polynomial equals 0 for every real x, so every x is a root. The distractors B and C are incorrect because they restrict roots to only positive or only negative numbers, whereas the zero polynomial has every real number as a root. Exam tip: treat the zero polynomial as a special case — its set of roots is the entire domain (all real numbers).
