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zeroes and coefficients MCQ Questions for Class 10

zeroes and coefficients se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

6 questions tagged with zeroes and coefficients.

Question 1/6 Expert Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 48

यदि बहुपद 8p(x)=x-2-kx+36\u00029 के शून्यक धनात्मक हैं और उनका अनुपात 1:4 है, तो k का मान क्या होगा?

If the zeroes of the polynomial \(p(x)=x^2-kx+36\) are positive and in the ratio 1:4, what is the value of k?

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Correct Answer

A. 15

Explanation

Simple Explanation

शून्यकों को t और 4t मानते हैं। शून्यकों का गुणनफल स्थिर पद के बराबर होता है, इसलिए t(4t)=36, अर्थात् 4t-2=36 और धनात्मकता के कारण t=3। अतः शून्यकों का योग 3+12=15 है। बहुपद x-2-kx+36 में शून्यकों का योग k होता है, इसलिए k=15। परीक्षा-युक्ति: x-2+bx+c के लिए शून्यकों का योग -b और गुणनफल c याद रखें। / Let the zeroes be t and 4t. Their product equals the constant term, so t(4t)=36, giving 4t-2=36. Since the zeroes are positive, t=3. Their sum is therefore 3+12=15. For x-2-kx+36, the sum of the zeroes is k, so k=15. Exam tip: For x-2+bx+c, the sum of the zeroes is -b and their product is c.

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Question 2/6 Expert Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 48

यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक \((2+\sqrt{3})\) और \((2-\sqrt{3})\) हैं, तो उसका एकघाती (मोनिक) बहुपद कौन-सा है?

If the zeroes of a quadratic polynomial are \((2+\sqrt{3})\) and \((2-\sqrt{3})\), which is the monic polynomial?

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Correct Answer

A. \(x^2-4x+1\)

Explanation

Simple Explanation

मान लें शून्यक \(\alpha=2+\sqrt{3}\) और \(\beta=2-\sqrt{3}\) हैं। तब \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\)। शून्यकों \(\alpha,\beta\) वाला मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है, इसलिए यह \(x^2-4x+1\) है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और गुणनफल अचर पद होता है। / Let the zeroes be \(\alpha=2+\sqrt{3}\) and \(\beta=2-\sqrt{3}\). Their sum is \(\alpha+\beta=4\), and their product is \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\). A monic quadratic with zeroes \(\alpha\) and \(\beta\) is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\), so it is \(x^2-4x+1\). Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: for a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the zeroes, while the constant term is their product.

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Question 3/6 Hard Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 46

यदि p(x) = x³ + ax² + bx + 8 के शून्यक −1, −2 और −4 हैं, तो a + b का मान क्या है?

If the zeroes of p(x) = x³ + ax² + bx + 8 are −1, −2, and −4, what is the value of a + b?

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A. 21

Explanation

Simple Explanation

दिए गए शून्यकों के कारण बहुपद को (x + 1)(x + 2)(x + 4) के रूप में लिखा जा सकता है। इसका विस्तार x³ + 7x² + 14x + 8 है। अतः a = 7 और b = 14, इसलिए a + b = 21। विकल्प 7 केवल a और 14 केवल b का मान है। परीक्षा युक्ति: घन बहुपद में x² और x के गुणांकों की तुलना करके a तथा b ज्ञात करें। / Since the zeroes are −1, −2, and −4, the polynomial can be written as (x + 1)(x + 2)(x + 4). Expanding gives x³ + 7x² + 14x + 8. Thus, a = 7 and b = 14, so a + b = 21. Options 7 and 14 represent a and b separately, not their sum. Exam tip: For a cubic polynomial, compare the coefficients of x² and x after forming the product of the corresponding linear factors.

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Question 4/6 Hard Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 46

यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक \(\alpha\) और \(\beta\) हैं तथा \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) है, तो इन शून्यकों वाला मोनिक बहुपद कौन-सा है?

If the zeroes of a quadratic polynomial are \(\alpha\) and \(\beta\), and \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\), which monic polynomial has these zeroes?

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Correct Answer

A. \(x^2-5x+6\)

Explanation

Simple Explanation

शून्यकों \(\alpha\) और \(\beta\) वाला मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है। दिए गए मान रखने पर यह \(x^2-5x+6\) मिलता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक धनात्मक है, जबकि शून्यकों के योग के कारण यह \(-5\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मोनिक बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्यकों के योग का ऋणात्मक और अचर पद उनके गुणनफल के बराबर होता है। / The monic quadratic with zeroes \(\alpha\) and \(\beta\) is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\). Substituting the given values gives \(x^2-5x+6\), so option A is correct. Option B has a positive coefficient of \(x\), but the coefficient must be the negative of the sum of the zeroes. Exam tip: for a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the zeroes, and the constant term is their product.

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Question 5/6 Hard Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 46

यदि बहुपद \(f(x)=x^3+px^2+qx-6\) के शून्यक \(1\), \(2\) और \(3\) हैं, तो \(p+q\) का मान क्या है?

If the zeroes of the polynomial \(f(x)=x^3+px^2+qx-6\) are \(1\), \(2\), and \(3\), what is the value of \(p+q\)?

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A. 5

Explanation

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दिए गए शून्यकों से बहुपद को \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में लिखा जा सकता है। विस्तार करने पर \(x^3-6x^2+11x-6\) मिलता है। अतः गुणांकों की तुलना से \(p=-6\) और \(q=11\), इसलिए \(p+q=-6+11=5\)। परीक्षा-युक्ति: एकक अग्रणी गुणांक वाले घन बहुपद में \(x^2\) और \(x\) के गुणांकों की तुलना सीधे करें। / Using the given zeroes, the polynomial can be written as \((x-1)(x-2)(x-3)\). On expansion, this becomes \(x^3-6x^2+11x-6\). Comparing coefficients gives \(p=-6\) and \(q=11\), so \(p+q=-6+11=5\). Exam tip: For a monic cubic polynomial, compare the coefficients of \(x^2\) and \(x\) directly after forming the product of the corresponding linear factors.

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Question 6/6 Hard Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Class 10 Level 46

यदि बहुपद \(p(x)=x^3+px^2+qx-6\) के शून्यक \(1, 2\) और \(3\) हैं, तो \(p+q\) का मान क्या है?

If the zeroes of the polynomial \(p(x)=x^3+px^2+qx-6\) are \(1, 2\), and \(3\), what is the value of \(p+q\)?

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Correct Answer

B. \(5\)

Explanation

Simple Explanation

दिए गए शून्यकों के आधार पर बहुपद को \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में लिखा जा सकता है। विस्तार करने पर \(x^3-6x^2+11x-6\) प्राप्त होता है। अतः \(p=-6\) और \(q=11\), इसलिए \(p+q=-6+11=5\)। \(-5\) प्राप्त करने के लिए जोड़ के बजाय घटाव करना एक सामान्य गलती है। परीक्षा में शून्यकों से बने गुणनखंडों का विस्तार करके समान घातों के गुणांकों की तुलना करें। / Using the given zeroes, the polynomial can be written as \((x-1)(x-2)(x-3)\). On expansion, this becomes \(x^3-6x^2+11x-6\). Therefore, \(p=-6\) and \(q=11\), so \(p+q=-6+11=5\). The value \(-5\) results from subtracting instead of adding the coefficients. In an exam, form the factors from the zeroes, expand them, and compare coefficients of like powers.

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