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Subjects
Class 10 Mathematics Polynomials Polynomials in one variable Expert Level 48

यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक \((2+\sqrt{3})\) और \((2-\sqrt{3})\) हैं, तो उसका एकघाती (मोनिक) बहुपद कौन-सा है?

If the zeroes of a quadratic polynomial are \((2+\sqrt{3})\) and \((2-\sqrt{3})\), which is the monic polynomial?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(x^2-4x+1\)

Explanation

Simple Explanation

मान लें शून्यक \(\alpha=2+\sqrt{3}\) और \(\beta=2-\sqrt{3}\) हैं। तब \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\)। शून्यकों \(\alpha,\beta\) वाला मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है, इसलिए यह \(x^2-4x+1\) है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और गुणनफल अचर पद होता है। / Let the zeroes be \(\alpha=2+\sqrt{3}\) and \(\beta=2-\sqrt{3}\). Their sum is \(\alpha+\beta=4\), and their product is \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\). A monic quadratic with zeroes \(\alpha\) and \(\beta\) is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\), so it is \(x^2-4x+1\). Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: for a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the zeroes, while the constant term is their product.

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यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक \((2+\sqrt{3})\) और \((2-\sqrt{3})\) हैं, तो उसका एकघाती (मोनिक) बहुपद कौन-सा है? / If the zeroes of a quadratic polynomial are \((2+\sqrt{3})\) and \((2-\sqrt{3})\), which is the monic polynomial?

Correct Answer: A. \(x^2-4x+1\). Explanation: मान लें शून्यक \(\alpha=2+\sqrt{3}\) और \(\beta=2-\sqrt{3}\) हैं। तब \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\)। शून्यकों \(\alpha,\beta\) वाला मोनिक द्विघात बहुपद \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) होता है, इसलिए यह \(x^2-4x+1\) है। विकल्प B में योग का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: शून्यकों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और गुणनफल अचर पद होता है। / Let the zeroes be \(\alpha=2+\sqrt{3}\) and \(\beta=2-\sqrt{3}\). Their sum is \(\alpha+\beta=4\), and their product is \(\alpha\beta=2^2-(\sqrt{3})^2=1\). A monic quadratic with zeroes \(\alpha\) and \(\beta\) is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\), so it is \(x^2-4x+1\). Option B has the wrong sign for the sum. Exam tip: for a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the zeroes, while the constant term is their product.