Which polynomial has rational coefficients and zeroes 1 + √2 and 1 − √2?निम्न में से किस बहुपद के परिमेय गुणांक हैं और उसके शून्यक 1 + √2 तथा 1 − √2 हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x² − 2x − 1x² − 2x − 1
For a monic quadratic with zeroes α and β, the required polynomial is x² − (α + β)x + αβ. Let α = 1 + √2 and β = 1 − √2. Their sum is α + β = 2 because the irrational terms cancel. Their product is αβ = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1, using the difference-of-squares identity. Hence the polynomial is x² − 2x − 1, so option A is correct and its coefficients are rational. Option B has the wrong sign for the linear coefficient. Option C has neither the correct sum-product pair nor the correct constant term. Option D has constant term 3, whereas the product of the zeroes must be −1.एकघाती द्विघात बहुपद के शून्यक α और β हों, तो उसका रूप x² − (α + β)x + αβ होता है। यहाँ α = 1 + √2 तथा β = 1 − √2 हैं। उनका योग α + β = 2 है, क्योंकि दोनों अपरिमेय पद कट जाते हैं। उनका गुणनफल αβ = (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1 है, जो वर्गों के अंतर की सर्वसमिका से मिलता है। इसलिए आवश्यक बहुपद x² − 2x − 1 है और विकल्प A सही है। विकल्प B में x के गुणांक का चिन्ह गलत है। विकल्प C का योग और गुणनफल दिए गए शून्यकों से मेल नहीं खाते। विकल्प D में अचर पद 3 है, जबकि शून्यकों का गुणनफल −1 होना चाहिए। इस प्रकार दोनों संयुग्मी शून्यकों का सही उपयोग करने पर परिमेय गुणांक वाला बहुपद निश्चित रूप से विकल्प A मिलता है।
Student feedback
Was this question useful?
👍 0 Helpful 👎 0 Not helpful
Yes 0% No 0%
0 responsesStudent Reviews
No published reviews yet.
