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polynomial-evaluation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
सभी गुणांकों का योग \(7+(-4)+(-2)+(-1)=0\) है। किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग \(p(1)\) से प्राप्त होता है; यहाँ \(p(1)=7-4-2-1=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: गुणांकों का योग निकालने के लिए बहुपद में \(x=1\) रखें, जबकि अचर पद के लिए \(x=0\) रखें। / The sum of the coefficients is \(7+(-4)+(-2)+(-1)=0\). For any polynomial, the sum of its coefficients is obtained by calculating \(p(1)\); here, \(p(1)=7-4-2-1=0\). Therefore, option A is correct. Exam tip: substitute \(x=1\) to find the sum of coefficients, whereas \(x=0\) gives the constant term.
\(p(-2)=(-2)^4-5(-2)^2+4=16-5(4)+4=16-20+4=0\)। सम घातों के कारण \((-2)^4=16\) और \((-2)^2=4\) होते हैं। विकल्प B केवल स्थिर पद या आंशिक गणना पर आधारित है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा में मान रखने के बाद घातों की गणना पहले करें और फिर गुणा-घटाव करें। / Substituting \(x=-2\), \(p(-2)=(-2)^4-5(-2)^2+4=16-5(4)+4=16-20+4=0\). Since the powers are even, \((-2)^4=16\) and \((-2)^2=4\). Option B results from an incomplete calculation, so it is incorrect. In exams, substitute the value first, evaluate powers, and then perform multiplication and subtraction.
x = 2 रखने पर p(2) = 3(2³) − 8(2²) + 7(2) − 2 = 24 − 32 + 14 − 2 = 4। इसलिए सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि घात वाले पदों का मान पहले निकालकर फिर गुणा और जोड़-घटाव करें; केवल गुणांकों को जोड़ना गलत होगा। / Substituting x = 2 gives p(2) = 3(2³) − 8(2²) + 7(2) − 2 = 24 − 32 + 14 − 2 = 4. Therefore, option B is correct. Exam tip: evaluate the powers first, then multiply by their coefficients and perform the operations in order; adding the coefficients alone would be incorrect.
(x=1) रखने पर (p(1)=k(1)3-2(1)2+5(1)-4=k-1) मिलता है। इसलिए (k-1=7), अर्थात (k=8)। विकल्प 7 चुनने पर स्थिर पदों का कुल प्रभाव (-2+5-4=-1) अनदेखा हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए (p(a)) के प्रश्न में सबसे पहले (x=a) रखें और फिर प्राप्त समीकरण हल करें। / Substituting (x=1) gives (p(1)=k(1)3-2(1)2+5(1)-4=k-1). Hence, (k-1=7), so (k=8). The distractor 7 results from overlooking the net contribution of the constant terms, (-2+5-4=-1). Exam tip: whenever (p(a)) is given, substitute x=a first and then solve the resulting equation.
\(p(1)=1^2-4(1)+k=k-3\) और \(p(3)=3^2-4(3)+k=k-3\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों मान प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए समान हैं; \(k\) पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। अतः \(k\) कोई भी वास्तविक मान हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: समानता जाँचने के लिए पहले दोनों दिए गए मानों पर बहुपद का मान अलग-अलग निकालें। / Substituting the given values gives \(p(1)=1^2-4(1)+k=k-3\) and \(p(3)=3^2-4(3)+k=k-3\). Thus the two values are equal for every real \(k\), so there is no further restriction on \(k\). Therefore, \(k\) can be any real value. Exam tip: Evaluate the polynomial at both specified inputs before trying to solve for the parameter.
\(p(2x)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(2x\) रखें: \(p(2x)=2(2x)^2+3(2x)-4=8x^2+6x-4\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2(2x)^2\) को गलत तरीके से \(4x^2\) माना गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी चर के स्थान पर पूरा व्यंजक रखने पर उसके घातांक का प्रभाव पूरे व्यंजक पर लागू करें। / To find \(p(2x)\), replace every \(x\) in the polynomial with \(2x\): \(p(2x)=2(2x)^2+3(2x)-4=8x^2+6x-4\). Hence, option A is correct. In option B, the term \(2(2x)^2\) has been incorrectly simplified as \(4x^2\). Exam tip: when substituting an expression for a variable, apply the power to the entire substituted expression.
\\(f(0)=q=6\\), इसलिए \\(f(2)=2^2+2p+6=0\\)। अतः \\(4+2p+6=0\\), यानी \\(2p=-10\\) और \\(p=-5\\)। परीक्षा-युक्ति: पहले \\(x=0\\) रखने पर अचर पद ज्ञात करें, फिर दूसरी शर्त का उपयोग करें। / Since \\(f(0)=q=6\\), the condition \\(f(2)=0\\) gives \\(2^2+2p+6=0\\). Thus, \\(4+2p+6=0\\), so \\(2p=-10\\) and \\(p=-5\\). Exam tip: use the value at \\(x=0\\) first to determine the constant term, then apply the second condition.
दिया गया बहुपद \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\) है। इसलिए \(p(2)=(2-1)^3=1\), अतः सही उत्तर विकल्प B है। विकल्प C में 2 को सीधे उत्तर मान लिया गया है, जबकि 2 केवल \(x\) का मान है। परीक्षा-टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले बीजगणितीय सर्वसमिका \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) पहचानें। / The polynomial can be written as \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\). Hence, \(p(2)=(2-1)^3=1\), so option B is correct. Option C incorrectly treats the input value 2 as the value of the polynomial. Exam tip: Look for the identity \(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\) before expanding and calculating term by term.
\(p(0)=c=5\), क्योंकि \(x=0\) रखने पर \(2x^2\) और \(bx\) दोनों शून्य हो जाते हैं। अब \(p(1)=2+b+5=1\), इसलिए \(b=-6\)। विकल्प \(-5\) में समीकरण हल करते समय 1 और 7 के अंतर की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद का अचर पद \(p(0)\) से तुरंत ज्ञात किया जा सकता है। / Since \(p(0)=c=5\), substituting \(x=1\) gives \(p(1)=2+b+5=1\). Hence, \(b+7=1\) and \(b=-6\). The distractor \(-5\) results from an arithmetic error while solving this equation. Exam tip: for a polynomial, the constant term is obtained directly by evaluating it at \(x=0\).
\(p(3)=3^2+2(3)-8=7\) और \(p(-2)=(-2)^2+2(-2)-8=-8\)। इसलिए \(p(3)-p(-2)=7-(-8)=15\)। ऋणात्मक मान घटाते समय उसे जोड़ने का ध्यान रखें; इसी चरण में प्रायः गलती होती है। / Substituting the values gives \(p(3)=3^2+2(3)-8=7\) and \(p(-2)=(-2)^2+2(-2)-8=-8\). Therefore, \(p(3)-p(-2)=7-(-8)=15\). Exam tip: when subtracting \(p(-2)\), subtract the negative value correctly, which becomes addition.
किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए \(x=1\) रखने पर मिले मान, अर्थात \(p(1)\), की गणना की जाती है। यहाँ \(p(1)=5(1)^3-2(1)^2+1-4=5-2+1-4=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। ध्यान रखें: गुणांकों का योग निकालने के लिए \(x=1\), जबकि शून्यांकों का गुणनफल आदि के लिए अलग सूत्र प्रयुक्त होते हैं। / The sum of all coefficients of a polynomial is found by evaluating it at \(x=1\). Here, \(p(1)=5(1)^3-2(1)^2+1-4=5-2+1-4=0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: use \(p(1)\) for the sum of coefficients, not \(p(0)\), which gives only the constant term.
x के स्थान पर -1 रखने पर p(-1) = (-1)4 - 2(-1)2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0। यहाँ (-1) की सम घातें 1 होती हैं; इसलिए केवल x-2 को -1 मानना गलत होगा और उससे मिलने वाला विकल्प -2 गलत है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद में मान रखने से पहले ऋणात्मक संख्या को कोष्ठक में लिखें। / Substituting -1 for x gives p(-1) = (-1)4 - 2(-1)2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. Since even powers of -1 equal 1, treating x-2 as -1 would incorrectly give -2. Exam tip: Always enclose a negative value in brackets before raising it to a power.
\(x=1\) रखने पर \(p(1)=1^3-4(1)^2+m(1)+6=1-4+m+6=m+3\)। शर्त \(p(1)=0\) से \(m+3=0\), अतः \(m=-3\)। उदाहरण के लिए, निकट विकल्प \(-2\) रखने पर \(p(1)=1\), शून्य नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए शून्यक के लिए बहुपद में उसका मान रखकर समीकरण बनाइए। / Substituting \(x=1\) gives \(p(1)=1^3-4(1)^2+m(1)+6=1-4+m+6=m+3\). Since \(p(1)=0\), we require \(m+3=0\), so \(m=-3\). The nearby option \(-2\) would give \(p(1)=1\), not zero. Exam tip: when a value is given as a zero of a polynomial, substitute it and set the resulting expression equal to zero.
\(x=-1\) रखने पर \(p(-1)=k(-1)^2-5(-1)+6=k+5+6=k+11\) प्राप्त होता है। अतः \(k+11=14\), इसलिए \(k=3\)। उदाहरण के लिए, \(k=2\) रखने पर मान \(13\) आएगा, 14 नहीं। परीक्षा में ऋणात्मक मान का वर्ग और \(-5(-1)\) के संकेत ध्यान से जाँचें। / Substituting \(x=-1\) gives \(p(-1)=k(-1)^2-5(-1)+6=k+5+6=k+11\). Thus, \(k+11=14\), so \(k=3\). For instance, taking \(k=2\) gives 13, not 14. In the exam, check both \((-1)^2\) and the sign in \(-5(-1)\) carefully.
\(p(0)=0^2-8(0)+13=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। किसी बहुपद में \(x=0\) रखने पर सभी चर वाले पद शून्य हो जाते हैं और केवल अचर पद बचता है। परीक्षा-युक्ति: \(p(0)\) सीधे बहुपद के अचर पद के बराबर होता है। / Substituting \(x=0\) gives \(p(0)=0^2-8(0)+13=13\), so the correct answer is 13. When \(x=0\), all terms containing \(x\) become zero, leaving only the constant term. Exam tip: \(p(0)\) is directly equal to the constant term of the polynomial.
\(p(-3)=(-3)^2+6(-3)+9=9-18+9=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और \(-3\) इस बहुपद का शून्यक है। विकल्प 9 चुनने पर प्रायः \(6(-3)\) वाले पद को छोड़ने की गलती होती है। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने पर उसे कोष्ठक में लिखें। / Substituting \(x=-3\), \(p(-3)=(-3)^2+6(-3)+9=9-18+9=0\). Therefore, 0 is the correct value, and \(-3\) is a zero of the polynomial. Choosing 9 usually results from omitting the term \(6(-3)\). In an exam, enclose a negative value in parentheses while substituting.
\(p(3)=0\) में \(x=3\) रखने पर \(3^2-3a+18=0\), अर्थात \(27-3a=0\)। इसलिए \(3a=27\) और \(a=9\)। परीक्षा में बहुपद का मान दिया हो तो संबंधित \(x\) का मान सीधे प्रतिस्थापित करके समीकरण बनाइए। / Substituting \(x=3\) in the condition \(p(3)=0\) gives \(3^2-3a+18=0\), or \(27-3a=0\). Hence, \(3a=27\) and \(a=9\). Exam tip: when the value of a polynomial is given, substitute the specified value of \(x\) directly and solve the resulting equation.
\(p(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और \(-1\) इस बहुपद का एक शून्यक है। विकल्प 2 चुनने पर सामान्यतः \((-1)^2\) या ऋण चिह्न के प्रतिस्थापन में गलती होती है। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने के लिए उसे हमेशा कोष्ठक में लिखें। / Substituting \(x=-1\), \(p(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0\). Therefore, 0 is the correct value, and \(-1\) is a zero of the polynomial. Choosing 2 usually results from mishandling the sign or the square of \(-1\). In an exam, always place a negative substitution inside parentheses.
बहुपद में c(x=3c) रखने पर c(p(3)=32-7(3)+12=9-21+12=0c)। इसलिए सही उत्तर 0 है और 3 इस बहुपद का शून्य भी है। ध्यान रखें कि किसी बहुपद का मान निकालने के लिए दिए गए मान को c(xc) के स्थान पर सीधे प्रतिस्थापित करना चाहिए। / Substitute c(x=3c) into the polynomial: c(p(3)=32-7(3)+12=9-21+12=0c). Therefore, the correct answer is 0, and 3 is also a zero of the polynomial. Exam tip: to evaluate a polynomial, directly replace c(xc) with the given value before simplifying.
q(-2) में x के स्थान पर -2 रखने पर q(-2)=(-2)3+2(-2)2-5(-2)-6=-8+8+10-6=4 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 2 जैसी गलती प्रायः -5(-2) को -10 मानने से होती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्ग और प्रत्येक पद का चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Substitute x=-2 in the polynomial: q(-2)=(-2)3+2(-2)2-5(-2)-6=-8+8+10-6=4. Therefore, the correct value is 4. An answer such as 2 may result from incorrectly treating -5(-2) as -10. In exams, evaluate the power and sign of each term separately when substituting a negative number.
बहुपद में \(x=2\) रखने पर \(p(2)=2(2)^2+3(2)-11=2\times4+6-11=3\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। घात और गुणा पहले करें, फिर जोड़-घटाव; इसी क्रम से गणना करने पर सामान्य त्रुटि से बचा जा सकता है। / Substituting \(x=2\) gives \(p(2)=2(2)^2+3(2)-11=2\times4+6-11=3\). Therefore, option C is correct. Follow the order of operations: evaluate the power and multiplication before addition and subtraction.
दिए गए बहुपद में \\(x=2\\) रखने पर \\(p(2)=2^2-2(2)+3=3\\) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, \\(x=-1\\) रखने पर \\(p(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=6\\)। अतः \\(p(2)+p(-1)=3+6=9\\)। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने पर \\(-2(-1)=+2\\) का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \\(x=2\\) gives \\(p(2)=2^2-2(2)+3=3\\). Substituting \\(x=-1\\) gives \\(p(-1)=(-1)^2-2(-1)+3=6\\). Therefore, \\(p(2)+p(-1)=3+6=9\\). Exam tip: when substituting \\(x=-1\\), remember that \\(-2(-1)=+2\\).
दिए गए बहुपद में x=0 रखने पर p(0)=5(0)2-3(0)+2=2 मिलता है। x=1 रखने पर p(1)=5-3+2=4। अतः p(0)+p(1)=2+4=6, इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक बहुपद मान अलग-अलग निकालकर अंत में उनका योग करें। / Substituting x=0 gives p(0)=5(0)2-3(0)+2=2. Substituting x=1 gives p(1)=5-3+2=4. Therefore, p(0)+p(1)=2+4=6, so option C is correct. In such questions, evaluate each polynomial value separately before adding them.
\(p(3)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर 3 रखें: \(p(3)=2(3)^2-7(3)+3=18-21+3=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। ध्यान रखें कि किसी बहुपद का मान निकालते समय दिए गए \(x\) का मान हर स्थान पर सही ढंग से प्रतिस्थापित करना चाहिए; केवल \(2(3)^2\) लेने पर मिलने वाला 18 सही उत्तर नहीं है। / To find \(p(3)\), substitute 3 for \(x\): \(p(3)=2(3)^2-7(3)+3=18-21+3=0\). Therefore, the correct answer is 0. Exam tip: replace \(x\) with the given value in every term; the value 18 from considering only \(2(3)^2\) is not the value of the complete polynomial.
किसी बहुपद का शून्यक \(3\) होने का अर्थ है कि \(p(3)=0\)। अतः \(3k+12=0\), इसलिए \(3k=-12\) और \(k=-4\)। विकल्प A में चिह्न की गलती है; परीक्षा में शून्यक दिए जाने पर सबसे पहले बहुपद में उसका मान रखकर उसे शून्य के बराबर करें। / A zero of a polynomial makes its value equal to zero, so \(p(3)=0\). Thus, \(3k+12=0\), giving \(3k=-12\) and \(k=-4\). Option A has the wrong sign; in such questions, substitute the given zero into the polynomial and equate the result to zero.
बहुपद में \(x=-2\) रखने पर \(r(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प −4 चुनने पर सामान्यतः \(-4(-2)\) के चिह्न या जोड़-घटाव में गलती होती है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या को घात और गुणन से पहले कोष्ठक में अवश्य लिखें। / Substitute \(x=-2\) into the polynomial: \(r(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0\). Therefore, the correct answer is 0. The distractor −4 may result from mishandling the sign in \(-4(-2)\) or in the final addition. In an exam, always use brackets when substituting a negative value.
दिए गए बहुपद में \(x=2\) रखने पर \(p(2)=3(2)^2-2(2)+1=9\) और \(x=1\) रखने पर \(p(1)=3(1)^2-2(1)+1=2\) प्राप्त होता है। इसलिए \(p(2)-p(1)=9-2=7\), अतः सही उत्तर C है। विकल्प 6 चुनने पर \(p(1)\) का मान गलत रूप से 3 लिया जाता है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद में मान रखने के बाद घात और ऋण चिह्न का विशेष ध्यान रखें। / Substituting \(x=2\) gives \(p(2)=3(2)^2-2(2)+1=9\), while substituting \(x=1\) gives \(p(1)=3(1)^2-2(1)+1=2\). Hence, \(p(2)-p(1)=9-2=7\), so option C is correct. Option 6 results from incorrectly taking \(p(1)\) as 3. Exam tip: substitute each value carefully and simplify the squared term before subtracting.
\(p(0)=0^2-5(0)+6=6\)। जब \(x=0\) रखा जाता है, तो \(x\) वाले पद शून्य हो जाते हैं और केवल अचर पद \(6\) बचता है। इसलिए सही उत्तर 6 है। परीक्षा-युक्ति: किसी बहुपद में \(p(0)\) का मान सीधे उसका अचर पद होता है। / Substituting \(x=0\), we get \(p(0)=0^2-5(0)+6=6\). The terms containing \(x\) become zero, leaving only the constant term, 6. Therefore, option D is correct. Exam tip: For any polynomial, \(p(0)\) equals its constant term.
(p(-2)=(-2)2+4(-2)+4=4-8+4=0 )। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B या C चुनने पर ऋणात्मक संख्या रखने के बाद के पदों के संकेत या जोड़ में गलती होती है। परीक्षा में किसी ऋणात्मक मान का वर्ग करते समय कोष्ठक अवश्य लगाएँ। / Substituting (x=-2 ) gives (p(-2)=(-2)2+4(-2)+4=4-8+4=0 ), so option A is correct. Choosing 2 or 4 usually results from mishandling the signs after substitution or addition. In an exam, always use parentheses when squaring a negative value.
\(p(1)\) ज्ञात करने के लिए बहुपद में \(x=1\) रखें: \(p(1)=1^3-6(1)^2+11(1)-6=1-6+11-6=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और 1 इस बहुपद का शून्यक भी है। परीक्षा में किसी मान पर बहुपद का मान निकालने के लिए उस मान को प्रत्येक \(x\) के स्थान पर सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find \(p(1)\), substitute \(x=1\) in the polynomial: \(p(1)=1^3-6(1)^2+11(1)-6=1-6+11-6=0\). Hence, 0 is the correct value, and 1 is also a zero of the polynomial. Exam tip: when evaluating a polynomial, replace every occurrence of \(x\) with the given value, including powers.
