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roots of quadratic equation MCQ Questions for Class 10
roots of quadratic equation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
मूलों का योग \((-1)+(-4)=-5\) है। द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। अतः \(-\frac{p}{2}=-5\), जिससे \(p=10\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(8\) अचर पद है, \(p\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) से जाँचें। / The sum of the roots is \((-1)+(-4)=-5\). For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Therefore, \(-\frac{p}{2}=-5\), giving \(p=10\). Option C, \(8\), is the constant term, not the value of \(p\). Exam tip: Check the sum and product of roots using \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
द्विघात समीकरण cx-2+bx+c=0c के लिए मूलों का योग calpha+beta=-b/ac और गुणनफल calphabeta=c/ac होता है। इसलिए यहाँ calpha+beta=7c तथा calphabeta=10c। अतः c(alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजकों के लिए पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालना प्रायः सबसे तेज़ तरीका होता है। / For a quadratic equation cax-2+bx+c=0c, the sum of the roots is alpha+beta=-b/ac and their product is alphabeta=c/ac. Hence, here alpha+beta=7c and alphabeta=10c. Therefore, (alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c. Exam tip: For expressions involving roots, first find their sum and product instead of solving for the roots individually.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\)। इसलिए \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में 2 जोड़ा गया है, इसलिए योग में 2 नहीं, बल्कि 4 की वृद्धि होगी; इसी कारण 7 गलत है। / By Vieta’s formula, \(\alpha+\beta=\frac{-(-5)}{1}=5\). Therefore, \((\alpha+2)+(eta+2)=\alpha+\beta+4=5+4=9\). Hence, the correct answer is 9. Since 2 is added to both roots, the sum increases by 4, not by 2; therefore, 7 is incorrect. Exam tip: when the same number \(k\) is added to both roots, their sum increases by \(2k\).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=c\) होता है। यहाँ \(c=k\), इसलिए \(k=(-2)(-4)=8\)। विकल्प \(-8\) ऋणात्मक चिह्न की गलती से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाकर उत्तर जाँचें। / For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=c\). Here, \(c=k\), so \(k=(-2)(-4)=8\). The option \(-8\) results from an incorrect sign in multiplying two negative numbers. Exam tip: Verify the roots using both their sum \((-b)\) and product \(c\).
विएटा के प्रमेय के अनुसार, समीकरण x² − (m + 2)x + 12 = 0 के मूलों का योग m + 2 होता है। दिए गए मूलों का योग 3 + 4 = 7 है, इसलिए m + 2 = 7 और m = 5। मूलों का गुणनफल 3 × 4 = 12 भी स्थिर पद की पुष्टि करता है। विकल्प B में 7 मूलों का योग है, m का मान नहीं। परीक्षा टिप: x² + bx + c = 0 में मूलों का योग −b होता है। / By Vieta’s theorem, the sum of the roots of x² − (m + 2)x + 12 = 0 is m + 2. Since the given roots are 3 and 4, their sum is 7, so m + 2 = 7 and m = 5. Their product, 3 × 4 = 12, also confirms the constant term. Option B, 7, is the sum of the roots, not the value of m. Exam tip: For x² + bx + c = 0, the sum of the roots is −b.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(2\times3=6\) है और \(c=6\), इसलिए \(\frac{6}{a}=6\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the roots is \(2\times3=6\) and \(c=6\). Thus, \(\frac{6}{a}=6\), giving \(a=1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मॉनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), अर्थात् \(x^2+7x-18=0\) मिलता है। विकल्प B में योग के चिह्न का उपयोग गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(x\) के गुणांक का ऋणात्मक और मूलों का गुणनफल अचर पद होता है। / If \(\alpha\) and \(\beta\) are the roots of a monic quadratic equation, its form is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-7)x+(-18)=0\), which simplifies to \(x^2+7x-18=0\). Option B incorrectly uses the sign of the sum. Exam tip: the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, while the constant term is their product.
मूलों का योग \((-5)+(-6)=-11\) है। मानक रूप \(x^2+mx+30=0\) में मूलों का योग \(-m\) होता है। इसलिए \(-m=-11\), अतः \(m=11\)। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें। / The sum of the roots is \((-5)+(-6)=-11\). For a quadratic equation of the form \(x^2+mx+30=0\), the sum of the roots is \(-m\). Thus, \(-m=-11\), giving \(m=11\). Option B results from a sign error. Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is always \(-b\).
द्विघात समीकरण \(x^2-9x+20=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=9\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=20\) होता है। इसलिए \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\)। अतः सही उत्तर 29 है। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग (-b) और गुणनफल (c) याद रखें। / For the quadratic equation \(x^2-9x+20=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=9\) and their product is \(\alpha\beta=20\). Hence, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+20=29\). Therefore, 29 is correct. Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is (-b) and their product is (c).
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) के बराबर वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac=0� होना चाहिए। यहाँ �a=1, b=-10, c=k� हैं, इसलिए �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�। अतः �k=25�। विकल्प 10 केवल �b� के परिमाण से जुड़ा है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों वाले प्रश्नों में सीधे �b-2-4ac=0� लगाएँ। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0�\), equal real roots occur when the discriminant �D=b-2-4ac� is zero. Here, �a=1, b=-10, c=k�, so �D=(-10)2-4(1)(k)=100-4k=0�, giving �k=25�. The value 10 is related only to the magnitude of �b� and does not satisfy the discriminant condition. Exam tip: Set �b-2-4ac=0� whenever equal roots are required.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(c=-9\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\) होगा। विकल्प B में चिह्न गलत है, जबकि \(-\frac{4}{7}\) और \(\frac{4}{7}\) में स्थिर पद के स्थान पर मध्य पद का गुणांक लिया गया है। परीक्षा टिप: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=7\) and \(c=-9\), so the product is \(\frac{-9}{7}=-\frac{9}{7}\). Option B has the wrong sign, while \(-\frac{4}{7}\) and \(\frac{4}{7}\) incorrectly use the coefficient of the middle term instead of the constant term. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
यदि मूल 3 और −8 हैं, तो समीकरण �\((x-3)(x+8)=0\)� होगा। इसका विस्तार करने पर \(x^2+5x-24=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक गलत चिन्ह के साथ है और उसके मूल 8 तथा −3 होंगे। परीक्षा-युक्ति: मूल \(\alpha,\beta\) दिए हों तो समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) से बनाएँ। / If the roots are 3 and −8, the equation is \((x-3)(x+8)=0\). On expanding, it becomes \(x^2+5x-24=0\), so option A is correct. Option B has the wrong sign for the coefficient of \(x\) and has roots 8 and −3. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), use \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो उसका मोनिक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। दिए गए मान रखने पर \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), अर्थात् \(x^2+5x-14=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मूलों का योग \(5\) हो जाएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के सामने ऋण चिह्न और मूलों के गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / For roots \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting the given values gives \(x^2-(-5)x+(-14)=0\), which simplifies to \(x^2+5x-14=0\). Option B would give the roots a sum of \(5\), so it is incorrect. Exam tip: use the negative of the sum of the roots as the coefficient of \(x\), and use the product directly as the constant term.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=54\), इसलिए दोनों मूलों का गुणनफल \(54\) है। यदि एक मूल \(6\) है, तो दूसरा मूल \(\frac{54}{6}=9\) होगा। विकल्प 6 को दोहराना और 15 को मूलों के योग से भ्रमित करना है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल ज्ञात करके दिए गए मूल से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=54\), so the product of the two roots is \(54\). If one root is \(6\), the other root is \(\frac{54}{6}=9\). Option 6 merely repeats the given root, while 15 is the sum of the roots, not their product. Exam tip: use the product-of-roots relation and divide by the known root.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-11\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\) है। विकल्प B में ऋण चिह्न गलत है, जबकि \(\frac{7}{4}\) वाले विकल्प स्थिरांक \(c\) से संबंधित भ्रम दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-11\), so the sum is \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\). Option B has the wrong sign, while the options containing \(\frac{7}{4}\) reflect confusion with the constant term. Exam tip: use \(-b/a\) directly to find the sum of the roots.
चूँकि \(x=3\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \(3^2+3k-18=0\) मिलता है। अतः \(9+3k-18=0\), यानी \(3k=9\) और \(k=3\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में चिह्न की गलती से \(k=-3\) आता है। परीक्षा में दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर \(k\) ज्ञात करें। / Since \(x=3\) is a root, substitute it into the equation: \(3^2+3k-18=0\). Thus, \(9+3k-18=0\), so \(3k=9\) and \(k=3\). Hence, option A is correct. Option B results from an incorrect sign. Exam tip: substitute the given root directly into the quadratic equation and solve for the parameter.
A. \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{2}{3}\)/\(\frac{1}{2}\) and \(\frac{2}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद का गुणनखंडन करें: \(6x^2-7x+2=(3x-2)(2x-1)\)। अतः \((3x-2)(2x-1)=0\) से \(x=\frac{2}{3}\) या \(x=\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में दिए मान गुणनखंडों से प्राप्त मूल नहीं हैं। परीक्षा में गुणनखंडन के बाद प्रत्येक रैखिक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर मूल निकालें। / Factorise the quadratic: \(6x^2-7x+2=(3x-2)(2x-1)\). Thus, \((3x-2)(2x-1)=0\) gives \(x=\frac{2}{3}\) or \(x=\frac{1}{2}\). Therefore, option A is correct. The values in option D do not satisfy the two linear factors. In an exam, set each linear factor equal to zero after factorisation to obtain the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=-6\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\)। विकल्प B में \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह की अनदेखी करने पर \(-3\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय हमेशा \(-b/a\) का सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=2\) and \(b=-6\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\). Option B results from mishandling the negative sign of \(b\). Exam tip: identify the coefficients carefully before applying \(-b/a\).
द्विघात समीकरण \(x^2+mx+12=0\) में मूलों का योग \(-m\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((-3)+(-4)=-7\) है, इसलिए \(-m=-7\), अर्थात \(m=7\)। विकल्प B में मूलों के योग को सीधे \(m\) मान लेने की चिह्न-त्रुटि है। परीक्षा-टिप: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग हमेशा \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+mx+12=0\), the sum of the roots is \(-m\). The given roots have sum \((-3)+(-4)=-7\), so \(-m=-7\), giving \(m=7\). Option B results from the sign error of taking the root sum as \(m\) instead of \(-m\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग -b/a होता है। यहाँ a = 1 और b = p हैं। इसलिए मूलों का योग -p होगा। दिए गए मूलों का योग -4 + (-4) = -8 है, अतः -p = -8 से p = 8। जाँच के लिए मूलों का गुणनफल (-4)(-4) = 16 है, जो स्थिर पद से भी मेल खाता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the sum of the roots is -b/a. Here, a = 1 and b = p, so the sum of the roots is -p. The given sum is -4 + (-4) = -8; therefore, -p = -8, giving p = 8. As a check, the product of the roots is (-4)(-4) = 16, which matches the constant term. Exam tip: Be careful with the negative sign in the formula for the sum of roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का गुणनफल \\(\\frac{c}{a}\\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=-11\) हैं, इसलिए मूलों का गुणनफल \\(\\frac{-11}{3}\\) है। विकल्प C में \\(\\frac{b}{a}=\\frac{8}{3}\\) से संबंधित मान लिया गया है, जो मूलों के गुणनफल का सूत्र नहीं है। परीक्षा युक्ति: मूलों के योग के लिए \\( -\\frac{b}{a}\\) और गुणनफल के लिए \\(\\frac{c}{a}\\) याद रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the product of its roots is \\(\\frac{c}{a}\\). Here, \(a=3\) and \(c=-11\), so the product is \\(\\frac{-11}{3}\\). Option C incorrectly uses the coefficient ratio \\(\\frac{b}{a}=\\frac{8}{3}\\), which is not the product of the roots. Exam tip: remember that the sum of roots is \\( -\\frac{b}{a}\\), while their product is \\(\\frac{c}{a}\\).
मान लें मूल 6 और \(x\) हैं। तब \(6x=48\), इसलिए \(x=\frac{48}{6}=8\)। अतः दूसरा मूल 8 है। 42, \(48-6\) से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ गुणनफल दिया गया है; इसलिए भाग करना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: दूसरे मूल के लिए गुणनफल को दिए गए मूल से भाग दें। / Let the roots be 6 and \(x\). Since their product is 48, \(6x=48\), so \(x=\frac{48}{6}=8\). Therefore, the other root is 8. The value 42 results from subtracting 6 from 48, but the question gives the product, so division is required. Exam tip: Divide the product of the roots by the known root to find the other root.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-13\), इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-13}{1}=13\) है। विकल्प 42 मूलों के गुणनफल \(\frac{c}{a}\) से संबंधित है, योग से नहीं। परीक्षा में योग ज्ञात करने के लिए सीधे \(-b/a\) का उपयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-13\), so the sum is \(-\frac{-13}{1}=13\). The value 42 is related to the product of the roots, \(\frac{c}{a}\), not their sum. In an exam, use \(-b/a\) directly to find the sum.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(11\) है, इसलिए दूसरा मूल \(11-5=6\) होगा। वास्तव में, \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\), इसलिए मूल \(5\) और \(6\) हैं। ध्यान रखें कि \(11\) दोनों मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, the sum of the roots is \(11\), so the other root is \(11-5=6\). Indeed, \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\), giving roots \(5\) and \(6\). Remember that \(11\) is the sum of the roots, not the other root.
समीकरण \(5x^2-45=0\) में 5 से भाग देने पर \(x^2-9=0\), अर्थात् \(x^2=9\) मिलता है। इसलिए \(x=\pm3\), यानी मूल 3 और −3 हैं। विकल्प B में \(x^2\) का मान 9 लिया गया है, मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=a\) होने पर दोनों मूल \(x=\pm\sqrt{a}\) लिखना न भूलें। / Dividing \(5x^2-45=0\) by 5 gives \(x^2-9=0\), so \(x^2=9\). Hence, \(x=\pm3\), and the roots are 3 and −3. In option B, 9 and −9 are incorrectly treated as the roots instead of the value of \(x^2\). Exam tip: whenever \(x^2=a\), write both roots as \(x=\pm\sqrt{a}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। मूल सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में \(D=0\) रखने पर दोनों मूल \(\frac{-b}{2a}\) प्राप्त होते हैं। इसलिए समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं। विकल्प A के लिए \(D>0\) आवश्यक है, जबकि \(D<0\) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा ‘समान और वास्तविक मूल’ याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Using the quadratic formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), when \(D=0\), both values of \(x\) become \(\frac{-b}{2a}\). Hence, the equation has two equal real roots. Option A applies when \(D>0\), whereas \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember that \(D=0\) means equal and real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। दिए गए समीकरण में \(a=2\) और \(b=3\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{3}{2}\) होगा। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में अचर पद \(c=-5\) को अनुचित रूप से लिया गया है। परीक्षा में मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of its roots is \(-\frac{b}{a}\). In the given equation, \(a=2\) and \(b=3\), so the sum is \(-\frac{3}{2}\). Option B misses the negative sign, while options C and D incorrectly use the constant term instead of the coefficient of \(x\). In an exam, apply the sum-of-roots formula \(-b/a\) directly.
