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विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2-2x+k=0\) के मूलों का गुणनफल \(k\) होता है। यहाँ मूल \(\tan\theta\) और \(\cot\theta\) हैं, इसलिए उनका गुणनफल \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\) है। अतः \(k=1\)। विकल्प 2 मूलों के योग से संबंधित है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में स्थिर पद को मूलों के गुणनफल से जोड़ना याद रखें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(x^2-2x+k=0\) is \(k\). Here, the product is \(\tan\theta\cdot\cot\theta=1\), so \(k=1\). The value 2 is related to the sum of the roots, not their product. Exam tip: for a monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(c\).
समान मूलों को \(r\) मानें। मूलों का गुणनफल \(r^2=49\) है, इसलिए \(r=\pm7\)। मूल ऋणात्मक होने के कारण \(r=-7\)। अतः दोनों मूलों का योग \(-14\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-k\) होता है, इसलिए \(-k=-14\), अर्थात् \(k=14\)। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणनफल से मूल ज्ञात करें और फिर योग \(-k\) से गुणांक निर्धारित करें। / Let the equal root be \(r\). Since the product of the roots is \(49\), we have \(r^2=49\), giving \(r=\pm7\). Because the roots are negative, \(r=-7\). Thus, their sum is \(-14\). By Vieta’s formula, the sum of the roots is \(-k\), so \(-k=-14\) and \(k=14\). Exam tip: use the constant term to find the equal root first, then use the sum of roots \(-k\) to determine the coefficient.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण 8x-2-6x+5=09 के मूलों का योग 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6 है। इसलिए नए व्यंजकों का योग 8\alpha+39+\u00028\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12 होगा। विकल्प 9 में केवल एक बार 3 जोड़ने की भूल होती है। परीक्षा-युक्ति: दोनों मूलों में समान संख्या जोड़ने पर मूलों का योग उस संख्या के दोगुने से बढ़ता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of 8x-2-6x+5=09 is 8\alpha+\beta9 = -\frac{-6}{1}=6. Hence, 8\alpha+39+8\beta+39 = \alpha+\beta+6 = 6+6=12. The distractor 9 results from adding 3 only once. Exam tip: when the same number is added to both roots, their sum increases by twice that number.
समीकरण के मूल 8 और -2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 2 घटाने पर नए मूल 6 और -4 मिलते हैं, अतः उनका गुणनफल \(6\times(-4)=-24\) है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में परिवर्तन करना है; केवल एक मूल में 2 घटाने से सही उत्तर नहीं मिलेगा। / The roots of the equation are 8 and -2, since \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\). After subtracting 2 from each root, the new roots are 6 and -4, whose product is \(6\times(-4)=-24\). Remember that the transformation must be applied to both roots; changing only one root gives an incorrect result.
समान मूलों का गुणनफल \(36\) है। अतः प्रत्येक मूल \(-6\) होगा, क्योंकि \((-6)(-6)=36\)। मूलों का योग \(-12\) है। विएटा के सूत्र के अनुसार मूलों का योग \(-k\) होता है, इसलिए \(-k=-12\), जिससे \(k=12\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य भी रख सकते हैं, जिससे \(k^2-144=0\); ऋणात्मक मूल की शर्त \(k=12\) चुनने में सहायता करती है। / The product of the equal roots is \(36\), so each root must be \(-6\), since \((-6)(-6)=36\). Their sum is therefore \(-12\). By Vieta’s formula, the sum of the roots is \(-k\), so \(-k=-12\), giving \(k=12\). Exam tip: You can also use the equal-root condition \(k^2-144=0\); the requirement that the roots be negative selects \(k=12\), not \(-12\).
द्विघात समीकरण \(x^2+px+25=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-5+(-5)=-10\) है, इसलिए \(-p=-10\), अर्थात \(p=10\)। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है। / For a quadratic equation \(x^2+px+25=0\), the sum of the roots is \(-p\). The given roots have sum \(-5+(-5)=-10\). Hence, \(-p=-10\), so \(p=10\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\), not \(b\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(b=-11\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\) है। विकल्प B में ऋण चिह्न गलत है, जबकि \(\frac{7}{4}\) वाले विकल्प स्थिरांक \(c\) से संबंधित भ्रम दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=4\) and \(b=-11\), so the sum is \(-\frac{-11}{4}=\frac{11}{4}\). Option B has the wrong sign, while the options containing \(\frac{7}{4}\) reflect confusion with the constant term. Exam tip: use \(-b/a\) directly to find the sum of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=2\) और \(b=-6\), इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\)। विकल्प B में \(b\) के ऋणात्मक चिन्ह की अनदेखी करने पर \(-3\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग निकालते समय हमेशा \(-b/a\) का सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=2\) and \(b=-6\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-6}{2}=3\). Option B results from mishandling the negative sign of \(b\). Exam tip: identify the coefficients carefully before applying \(-b/a\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(b=-4\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\) है। ध्यान रखें कि \(b\) का ऋणात्मक चिह्न सूत्र में शामिल होने पर उत्तर धनात्मक हो जाता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=5\) and \(b=-4\), so the sum is \(-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}\). Exam tip: substitute the signed value of \(b\), not just its magnitude, in the formula.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। दिए गए समीकरण में \(a=2\) और \(b=3\) हैं, इसलिए मूलों का योग \(-\frac{3}{2}\) होगा। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में अचर पद \(c=-5\) को अनुचित रूप से लिया गया है। परीक्षा में मूलों के योग के लिए सीधे \(-b/a\) सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of its roots is \(-\frac{b}{a}\). In the given equation, \(a=2\) and \(b=3\), so the sum is \(-\frac{3}{2}\). Option B misses the negative sign, while options C and D incorrectly use the constant term instead of the coefficient of \(x\). In an exam, apply the sum-of-roots formula \(-b/a\) directly.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(b=-5\) इसलिए योग \(-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}\) है। निकटतम विचलन \(-\frac{5}{3}\) साइन की गलती है, और \(\frac{2}{3}\) मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है न कि योग। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचान कर \(-b/a\) लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots equals \(-\frac{b}{a}\). Here \(a=3\) and \(b=-5\), so the sum is \(-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3}\). The nearest distractor \(-\frac{5}{3}\) is a sign error; \(\frac{2}{3}\) is the product of the roots \(c/a\), not the sum. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and then use \(-b/a\).
विस्मय के अनुसार, \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\)। द्विघात समीकरण \(x^2-18x+80=0\) के लिए Vieta से \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=80\)। अतः मान = \(80-8\times18+64=80-144+64=0\)। सबसे प्रबल भ्रांति यह होगी कि केवल \(\alpha\beta\) को ही उत्तर मान लिया जाए (80), पर वहां \(-8(\alpha+\beta)\) और \(+64\) का योगदान भी है। परीक्षा युक्ति: ऐसे विक्षेप के सवालों में सीधे Vieta के सूत्र लागू करें या \(y=x-8\) के substitution द्वारा गुणनफल खोजें। / Use the identity \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\). For \(x^2-18x+80=0\), by Vieta \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=80\). Therefore the value is \(80-8\times18+64=80-144+64=0\). A common mistake is to pick \(80\) (the product \(\alpha\beta\)) and ignore the linear shift terms. Exam tip: Apply Vieta's formulas directly or set \(y=x-8\) to transform the expression quickly.
किसी समीकण \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का वर्गीय सम्बन्ध (Vieta) कहता है कि मूलों का योग = \(-b\) और गुणनफल = \(c\)। यहाँ समीकरण \(x^2 - s x + p = 0\) है, अतः दो मूलों का योग = \(s\) और गुणनफल = \(p\)। दिए गये मूल 8 और 9 हैं, तो \(s=8+9=17\) और \(p=8\times9=72\)। इसलिए \(s+p=17+72=89\)। निकटतम भ्रामक विकल्पों में से \(17\) केवल \(s\) (मूलों का योग) है और \(72\) केवल \(p\) (मूलों का गुणनफल) है, अतः वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: समीकरण को सामान्य रूप \(x^2+bx+c=0\) में देखें और Vieta के नियम याद रखें — योग = \(-b\), गुणनफल = \(c\)। / By Vieta’s relations for \(x^2+bx+c=0\), the sum of roots = \(-b\) and the product = \(c\). For \(x^2 - s x + p = 0\), the sum of the roots equals \(s\) and the product equals \(p\). With roots 8 and 9 we get \(s=8+9=17\) and \(p=8\times9=72\). Hence \(s+p=17+72=89\). Note that 17 is only the sum (s) and 72 is only the product (p), so they are incorrect as s+p. Exam tip: apply Vieta’s formulas directly instead of recomputing coefficients each time.
विएटा के सूत्र के अनुसार, समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-15\) हैं, इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-15}{1}=15\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=15^2=225\)। विकल्प 44 मूलों के गुणनफल \(\alpha\beta\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे विएटा के सूत्र से पहचानें। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(ax^2+bx+c=0\) is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-15\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-15}{1}=15\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=15^2=225\). The value 44 is the product \(\alpha\beta\), not the sum of the roots. Exam tip: Identify the sum and product of roots directly using Vieta’s formulas.
समाधान के लिए Vieta के संबंध प्रयोग करें। द्विघात समीकरण \(x^2+ax+10=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है और गुणनफल \(10\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-2)+(-5)=-7\ है। अतः \(-a=-7\) जिससे \(a=7\)। उत्पाद की जाँच: \((-2)\times(-5)=10\), जो स्वतंत्र पद से मेल खाता है, इसलिए उत्तर सत्यापित होता है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प \(-7\) उस गलत अवधारणा से आता है कि मूलों का योग सीधे \(a\) के बराबर है — यहाँ चिन्ह उल्टा होता है। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि सामान्य रूप \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Use Vieta's relations. For \(x^2+ax+10=0\), the sum of roots equals \(-a\) and the product equals \(10\). The given roots sum to \(-2)+(-5)=-7\, so \(-a=-7\) and hence \(a=7\). Check the product: \((-2)(-5)=10\) matches the constant term, confirming consistency. The closest distractor \(-7\) stems from reversing the sign convention (thinking sum equals \(a\) instead of \(-a\)). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\) remember sum = \(-b\) and product = \(c\) to avoid sign mistakes.
यदि सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है (Vieta सूत्र)। यहाँ \(a=3,\;c=-8\) इसलिए गुणनफल \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\) होगा। विकल्प B (\(\tfrac{8}{3}\)) केवल साइन में त्रुटि है; विकल्प C और D में अंकीय मान ही गलत हैं। परीक्षा सुझाव: सीधे \(\dfrac{c}{a}\) याद रखें और c का चिन्ह बदलने से बचें—चिन्ह वही उपयोग करें जो समीकरण में है। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\) (Vieta's formula). Here \(a=3\) and \(c=-8\), so the product is \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\). Option B (\(\tfrac{8}{3}\)) is a sign error; options C and D have incorrect numerical values. Exam tip: apply \(c/a\) directly and pay attention to the sign of \(c\) from the given equation.
