\(\sin^{-1}x=\tan^{-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) यह पहचान किस शर्त पर सत्य है?
Under which condition is \(\sin^{-1}x=\tan^{-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\) correct?
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A. \(-1<x<1\)
Simple Explanation
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\) लिया जाए तो \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) और \(\sin\theta=x\). उसी मुख्य शर्त में \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (धनात्मक शून्य के साथ) और इसलिए \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\). इसलिए \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) परन्तु केवल तब जब \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) और \(\sin^{-1}x\) परिभाषित हो, अर्थात् \(-1<x<1\). यदि \(x=\pm1\) तो हरास्पद भाग में हर (denominator) शून्य हो जाता है और अभिव्यक्ति अव्याख्येय है (सीमाएँ ±\(\tfrac{\pi}{2}\) देती हैं किंतु समानता वास्तविक रूप से परिभाषित नहीं)। \(|x|>1\) पर \(\sin^{-1}x\) ही परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: inverse त्रिकोणमितीय पहचानें लिखते समय principal-value रेंज और sqrt के संकेत पर ध्यान दें — cos का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\) so that \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) and \(\sin\theta=x\). In this principal range \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (nonnegative), hence \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\). Thus \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) provided \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) and \(\sin^{-1}x\) is defined — i.e. \(-1<x<1\). At \(x=\pm1\) the denominator is zero (the expression is not defined even though the limit gives ±\(\tfrac{\pi}{2}\)), and for \(|x|>1\) the left side \(\sin^{-1}x\) is not defined. Exam tip: always check domains and principal-value ranges when equating inverse trig functions; note the sign of the square root in the principal interval.
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