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किसी भी \(cosec^{-1}(u)\) के लिए तर्क \(u\) का मान ऐसे होना चाहिए कि \(|u|\ge1\) क्योंकि cosec के मान केवल \(\le-1\) या \(\ge1\) हो सकते हैं। यहाँ \(u=x-2\) है, अतः \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इसका अर्थ है \(x-2\le-1\) या \(x-2\ge1\), अर्थात् \(x\le1\) या \(x\ge3\)। इसलिए डोमेन \((-
\infty,1]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि वह endpoints \(x=1\) और \(x=3\) को निकाल देता है जबकि वे वैध हैं (\(|x-2|=1\) पर भी cosec^{-1} परिभाषित है)। परीक्षायी सुझाव: inverse cosec के लिए हमेशा तर्क पर \(|\cdot|\ge1\) की शर्त लागू करें और बराबरी के मामलों को शामिल करना न भूलें। / For \(cosec^{-1}(u)\) the argument must satisfy \(|u|\ge1\) because cosecant values lie in \((-
\infty,-1]\cup[1,\infty)\). Here \(u=x-2\), so require \(|x-2|\ge1\), giving \(x\le1\) or \(x\ge3\). Thus the domain is \((-
\infty,1]\cup[3,\infty)\). Option C is a close distractor but wrong because it excludes the endpoints \(x=1,3\), which are allowed (\(|x-2|=1\) is permitted). Exam tip: convert inverse trigonometric domains into inequalities on the argument (e.g. \(|\cdot|\ge1\) for \(cosec^{-1}\)) and check inclusivity of boundary points.
सामान्य रूप से \(\sec^{-1}u\) तभी परिभाषित होता है जब \(|u|\ge1\)। यहाँ \(u=2x+1\) है, इसलिए आवश्यकता है \(|2x+1|\ge1\)। इसे हल करने पर दो स्थितियाँ मिलती हैं: \(2x+1\ge1\) यानी \(x\ge0\) या \(2x+1\le-1\) यानी \(x\le-1\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(|u|\le1\) उल्टा है। विकल्प C (सिर्फ सकारात्मक होना) पर्याप्त नहीं है क्योंकि \(2x+1\) नकारात्मक पर भी मान्य हो सकता है यदि उसका परिमाण 1 से बड़ा हो। विकल्प D (\(\ne0\)) आवश्यक परन्तु पर्याप्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(2x+1=0.5\) पर \(\sec^{-1}\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: पहले \(|u|\ge1\) लागू करें, फिर абсолют मान तोड़ कर दो रेंज प्राप्त करें। / By definition \(\sec^{-1}u\) is defined only when \(|u|\ge1\). With \(u=2x+1\) this gives \(|2x+1|\ge1\). Solving yields \(2x+1\ge1\Rightarrow x\ge0\) or \(2x+1\le-1\Rightarrow x\le-1\). Option B is the reverse inequality and is incorrect. Option C (requiring positivity) is not sufficient because negative values with magnitude ≥1 are also allowed. Option D (nonzero) is necessary but not sufficient — values like \(2x+1=0.5\) are nonzero yet outside the domain. Exam tip: always convert \(|u|\ge1\) into the two linear inequalities to get the domain explicitly (here \(x\le-1\) or \(x\ge0\)).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\) लिया जाए तो \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) और \(\sin\theta=x\). उसी मुख्य शर्त में \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (धनात्मक शून्य के साथ) और इसलिए
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
इसलिए \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) परन्तु केवल तब जब \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) और \(\sin^{-1}x\) परिभाषित हो, अर्थात् \(-1<x<1\). यदि \(x=\pm1\) तो हरास्पद भाग में हर (denominator) शून्य हो जाता है और अभिव्यक्ति अव्याख्येय है (सीमाएँ ±\(\tfrac{\pi}{2}\) देती हैं किंतु समानता वास्तविक रूप से परिभाषित नहीं)। \(|x|>1\) पर \(\sin^{-1}x\) ही परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: inverse त्रिकोणमितीय पहचानें लिखते समय principal-value रेंज और sqrt के संकेत पर ध्यान दें — cos का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\) so that \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) and \(\sin\theta=x\). In this principal range \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (nonnegative), hence
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
Thus \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) provided \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) and \(\sin^{-1}x\) is defined — i.e. \(-1<x<1\). At \(x=\pm1\) the denominator is zero (the expression is not defined even though the limit gives ±\(\tfrac{\pi}{2}\)), and for \(|x|>1\) the left side \(\sin^{-1}x\) is not defined. Exam tip: always check domains and principal-value ranges when equating inverse trig functions; note the sign of the square root in the principal interval.
यह identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) से मिलती है। इसका domain \(x\in[-1,1]\) है। / This identity follows from \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Its domain is \(x\in[-1,1]\).
A. वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं/Not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\cos^{-1}x\) (arccos) केवल तब वास्तविक मान देता है जब \(x\in[-1,1]\)। इसकी वास्तविक छवि मूल श्रेणी \([0,\pi]\) में होती है। यहाँ \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) का वास्तविक मान नहीं है — यह वास्तविक संख्या नहीं दे सकता। विकल्प \(\dfrac{\pi}{3}\) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), न कि \(\tfrac{3}{2}\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी inverse-trig प्रश्न में पहले फंक्शन का domain चेक करें (उदा. arccos के लिए \([-1,1]\))। / The function \(\cos^{-1}x\) (arccos) has real values only for \(x\in[-1,1]\); its principal range for real inputs is \([0,\pi]\). Since \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) has no real value. Option \(\dfrac{\pi}{3}\) is a tempting distractor but incorrect because \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), not \(\tfrac{3}{2}\). Exam tip: always check the domain of inverse trigonometric functions before attempting to find a value.
C. यह वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं है/It is not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
यदि फंक्शन \(\sin^{-1}x\) (arcsin) वास्तविक मान में परिभाषित है तो निर्भरशील मान \(x\) का अवसरा \([-1,1]\) होना चाहिए। चूँकि \(2\notin[-1,1]\), इसलिए \(\sin^{-1}2\) वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं है। (ध्यान रखें: जटिल गणित में \(\sin^{-1}2\) का जटिल मान मौजूद है, पर यह विकल्प वास्तविक परिभाषा के बारे में पूछता है।) परीक्षा संकेत: हमेशा inverse trig फ़ंक्शन का domain पहले जाँचें। / The real-valued arcsin function \(\sin^{-1}x\) is defined only for \(x\in[-1,1]\). Since \(2\notin[-1,1]\), \(\sin^{-1}2\) is not defined as a real number. (Note: arcsin can be extended to complex values, but the question concerns real definition.) Exam tip: first check the domain of the inverse trigonometric function before evaluating.
\(cosec y=\frac{1}{sin y}\), इसलिए \(cosec y\) के values \(|x|\ge1\) होते हैं। domain याद करते समय reciprocal nature देखें। / \(cosec y=\frac{1}{sin y}\), so values of \(cosec y\) satisfy \(|x|\ge1\). Use the reciprocal nature to remember the domain.
\(\tan^{-1}u\) हर real \(u\) के लिए परिभाषित होता है। इसलिए \(x^2+1\) के कारण (x) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। / \(\tan^{-1}u\) is defined for every real (u). Hence \(x^2+1\) puts no restriction on (x).
\(-1\le x^2-1\le1\) से \(0\le x^2\le2\) मिलता है। इसलिए \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), जो दिए विकल्पों में नहीं है। / From \(-1\le x^2-1\le1\), we get \(0\le x^2\le2\). Thus \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), so none of the first three is exact.
\(\cos^{-1}(3x-1)\) के लिए \(-1\le3x-1\le1\) चाहिए। हल करने पर \(0\le x\le\frac{2}{3}\) मिलता है। / For \(\cos^{-1}(3x-1)\), we need \(-1\le3x-1\le1\). Solving gives \(0\le x\le\frac{2}{3}\).
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) मिलता है। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\).
B. केवल \(x\in[-1,1]\) के लिए/Only for \(x\in[-1,1]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) का डोमेन \([-1,1]\) है, इसलिए इसी पर \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) होगा। composition में inner function का domain देखें। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \([-1,1]\), so \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) there. In composition, check the inner function domain.
\(\sin^{-1}x\) (arcsin) उसी समय परिभाषित होता है जब \(x\) साइन फलन के संभावित मानों में हो। किसी भी वास्तविक \(y\) के लिए \(\sin y\) का मान केवल \([-1,1]\) में आता है, और प्राथमिक शाखा के लिए \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) पर भी \(\sin y=\pm1\) संभव है। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in[-1,1]\) (यह कारण विकल्प A को सही बनाता है)। विकल्प B गलत है क्योंकि यह अंत-बिंदु \(\pm1\) को छोड़ देता है जबकि \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) परिभाषित हैं। विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं: C में सभी वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं जो संभव नहीं हैं, और D एक कोण अंतराल है न कि \(x\) के लिए योग्य वास्तविक मानों का सेट। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse trigonometric फलन की domain जानने के लिए पहले मूल trigonometric फलन की range याद रखें। / \(\sin^{-1}x\) (arcsin) is defined only when \(x\) lies within the range of the sine function. For real \(y\), \(\sin y\) takes values only in \([-1,1]\); moreover on the principal branch \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) the values \(\pm1\) also occur. Thus \(\sin^{-1}x\) is defined exactly for \(x\in[-1,1]\), so option A is correct. Option B is incorrect because it excludes the endpoints \(\pm1\), but \(\sin^{-1}(\pm1)=\pm\tfrac{\pi}{2}\) are valid. Options C and D are clearly wrong: C allows all real numbers (not possible), and D gives an angle interval, not valid values of \(x\). Exam tip: to find the domain of an inverse trig function, first recall the range of the original trig function (e.g., range(sin) = [-1,1]).
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le 1\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\) मिलेगा। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le 1\). Hence \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\).
\(\csc^{-1}x\) तब परिभाषित है जब \(|x|\ge 1\) अर्थात् डोमेन \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\)। इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) (जहाँ \(|x|<1\)) पर \(\csc^{-1}x\) परिभाषित नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x=2\) और \(x=-3\) सीधे डोमेन में आते हैं और \(x=-1\) भी सीमा बिंदु होने के कारण परिभाषित है। परीक्षा टिप: उल्टी cosecant का डोमेन याद रखें — केवल उन मानों को चुनें जिनका मौलिक cosecant मान \(\le -1\) या \(\ge 1\) हो। / \(\csc^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), i.e. the domain is \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\). Hence \(x=\tfrac{1}{2}\) is not allowed because \(|\tfrac{1}{2}|<1\). The other choices satisfy the domain: \(x=2\) and \(x=-3\) are valid, and \(x=-1\) is valid as an endpoint. Exam tip: memorize domains of inverse trig functions (especially arccsc/arccot) to avoid common mistakes on boundaries.
\(\sec y\) के मान (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आते, इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत (\mathbb{R}\setminus\left\(-1,1\right\)) है। शून्य भी प्रांत में नहीं है। / Values of \(\sec y\) do not lie in (\left\(-1,1\right\)), so the domain of \(\sec^{-1}x\) is (\mathbb{R}\setminus\left\(-1,1\right\)). Zero is also not in the domain.
(\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)) के लिए \(-1\le\frac{x}{3}\le1\) होना चाहिए। इसलिए \(-3\le x\le3\) है। / For (\cos^{-1}\left\(\frac{x}{3}\right\)), we need \(-1\le\frac{x}{3}\le1\). Therefore \(-3\le x\le3\).
(\sin^{-1}(2x)) के लिए \(-1\le 2x\le1\) होना चाहिए। इससे \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\) मिलता है। / For (\sin^{-1}(2x)), we need \(-1\le 2x\le1\). This gives \(x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\).
A. \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है/The domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1])
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) के लिए (x) का मान ([-1,1]) में होना चाहिए। बाकी कथन डोमेन या सीमा में गलत हैं। / For \(\sin^{-1}x\), the value of (x) must lie in ([-1,1]). The other statements are wrong in domain or range.
\(\sin^{-1}x\) वास्तविक तभी है जब \(x\in[-1,1]\)। इसे असमानता के रूप में \(-1\le x\le1\) लिखते हैं। / The value \(\sin^{-1}x\) is real only when \(x\in[-1,1]\). This is written as \(-1\le x\le1\).
A. समस्त वास्तविक संख्याएं \(\mathbb{R}\)/All real numbers \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cot x\) सभी वास्तविक मान ले सकता है इसलिए \(\cot^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है। इसे \(\sin^{-1}\) के डोमेन से न मिलाएं। / Since \(\cot x\) can take all real values the domain of \(\cot^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\). Do not mix it with the domain of \(\sin^{-1}x\).
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
\(\sec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। (0) इस प्रांत में नहीं है। / The domain of \(\sec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). The number (0) is not in this domain.
\(cosec^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(\left|x\right|\ge1\)। यहाँ \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / The function \(cosec^{-1}x\) is defined when \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|-\frac{5}{4}\right|\ge1\), so it is defined.
\(\sec^{-1}x\) के लिए \(\left|x\right|\ge1\) होना चाहिए। यहाँ \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), इसलिए यह परिभाषित है। / For \(\sec^{-1}x\), we need \(\left|x\right|\ge1\). Here \(\left|\frac{3}{2}\right|\ge1\), so it is defined.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। क्योंकि \(\frac{11}{10}>1\), यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\). Since \(\frac{11}{10}>1\), it is not defined.
\(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) परिभाषित नहीं है। प्रांत पहले जांचें। / Since \(\frac{7}{6}\notin\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}\left(\frac{7}{6}\right)\) is not defined. Check the domain first.
आर्कसेक (\(\sec^{-1}x\)) केवल तभी परिभाषित होता है जब \(|x|\ge 1\) क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) और \(|\cos\theta|\le1\) के कारण \(|\sec\theta|\ge1\) होता है। यहाँ \(\left|\dfrac{1}{2}\right|<1\), इसलिए \(\sec^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) परिभाषित नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि यदि \(\sec\theta=\dfrac{1}{2}\) होता तो \(\cos\theta=2\) चाहिए—यह संभव नहीं है। (नोट: \(\sec(\pi/3)=2\), इसलिए \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), मगर यह \(\sec^{-1}(1/2)\) से संबंध नहीं रखता)। परीक्षा टिप: किसी भी इनवर्स ट्रिग फ़ंक्शन के लिए पहले उसके वैध डोमेन की जाँच करें — arcsec के लिए आवश्यक शर्त \(|x|\ge1\) है। / The inverse secant \(\sec^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), because \(\sec\theta=1/\cos\theta\) and therefore \(|\sec\theta|\ge1\). Here \(\left|\tfrac{1}{2}\right|<1\), so \(\sec^{-1}\left(\tfrac{1}{2}\right)\) is not defined. Options C and D are incorrect: \(\sec\theta=\tfrac{1}{2}\) would require \(\cos\theta=2\), which is impossible. (For reference, \(\sec(\pi/3)=2\), so \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), but that does not imply \(\sec^{-1}(1/2)\) exists.) Exam tip: always check the domain of the inverse trigonometric function first — for arcsec the requirement is \(|x|\ge1\).
B. यह परिभाषित है — इसका मान किसी सीमित कोण के समान है जो \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता है/It is defined — equal to a finite angle in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)
Explanation
Simple Explanation
विलोम फलन \(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं \(x\in\mathbb{R}\) के लिए परिभाषित होता है और इसका प्रधान मान (principal value) दायरा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) निश्चित रूप से परिभाषित है और किसी सीमित वास्तविक कोण के बराबर है जो उपर्युक्त खुला अन्तराल में आता है। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\tan\theta\) के लिए \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) पर अनियतता (vertical asymptote) होती है और arctan उस सीमा बिंदु को कभी ग्रहण नहीं करता। विकल्प \(\pi\) भी गलत है क्योंकि arctan का प्रधान मान \(\pi\) नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(\tan^{-1}x\) की डोमेन और रेंज याद रखें — domain = all real numbers, range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)। / The inverse tangent function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number \(x\in\mathbb{R}\) and its principal value lies in the interval \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined and equals a finite angle inside that open interval. The choice \(\tfrac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\tan\theta\) has a vertical asymptote at \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) and arctan never attains that endpoint; \(\pi\) is also impossible since arctan’s principal value cannot be \(\pi\). Exam tip: memorize domain = all real numbers and range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) for \(\tan^{-1}x\).
