Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\cos^{-1}x\) केवल \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए परिभाषित है। (-2) इस प्रांत में नहीं है। / The function \(\cos^{-1}x\) is defined only for \(x\in\left[-1,1\right]\). The number (-2) is not in this domain.
\(\sin^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है और \(2\notin\left[-1,1\right]\)। इसलिए यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and \(2\notin\left[-1,1\right]\). Hence it is not defined.
\(\sin^{-1}x\) वह कोण है (मुख्य मान) \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प "-x" भ्रम पैदा कर सकता है, पर सिद्धांततः \(\sin^{-1}x\) साइन को उलटकर नहीं बदलता, अतः "-x" गलत है। परिक्षा-सूत्र: हमेशा क्षेत्र (domain) \([-1,1]\) और principal value की सीमा \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) याद रखें। / By definition, \(\sin^{-1}x\) is the principal angle \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) such that \(\sin y=x\). Hence \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). The distractor "-x" is incorrect because taking \(\sin^{-1}\) returns the angle whose sine is exactly \(x\), not its negative. Exam tip: always check the domain \([-1,1]\) of \(\sin^{-1}x\) and remember the principal value range of arcsin when composing functions.
\(\tan y\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए \(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The function \(\tan y\) can take every real value. Hence the domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\).
\(\cos y\) का मान \(\left[-1,1\right]\) से बाहर नहीं जाता। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। / The value of \(\cos y\) does not go outside \(\left[-1,1\right]\). Hence the domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\).
\(\sin y\) के मान केवल \(\left[-1,1\right]\) में होते हैं। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in\left[-1,1\right]\)। / Values of \(\sin y\) lie only in \(\left[-1,1\right]\). So \(\sin^{-1}x\) is defined when \(x\in\left[-1,1\right]\).
B. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cosec y\) कभी (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आता। इसलिए \(\cosec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। / The value of \(\cosec y\) never lies in (\left\(-1,1\right\)). So the domain of \(\cosec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)).
C. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sec y\) के मान (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) में होते हैं। इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत यही है। / Values of \(\sec y\) lie in (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). Hence this is the domain of \(\sec^{-1}x\).
A. यह फलन \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। / These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है। / A function must be well-defined before onto nature can be tested.
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास पूरा \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is all \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में आता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) वाले प्रश्नों में प्रांत बहुत महत्त्वपूर्ण होता है। / In \(\tan x\) questions, the domain is very important.
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है/For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
प्रांत \([-3,\infty\)) में \(x+3\ge0\) है। / In the domain \([-3,\infty\)), \(x+3\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर (x+3) और \(\sqrt{x+3}\) दोनों बढ़ते हैं, इसलिए प्रतिबिंब नहीं दोहरता। / As (x) increases, both (x+3) and \(\sqrt{x+3}\) increase, so the image does not repeat.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल रूप सामान्यतः अपने प्राकृतिक प्रांत पर बढ़ता हुआ होता है। / A square-root form is usually increasing on its natural domain.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) और (a,b>0) होने से (a=b)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) with (a,b>0) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने वैध क्षेत्र में अलग-अलग आगतों को अलग-अलग निर्गत देता है। / A reciprocal function gives distinct outputs for distinct inputs in its valid domain.
\(x\neq 2\) पर \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। / For \(x\neq 2\), \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) में (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए समान छवि से समान आगत मिलेगा। / In (x+2), the coefficient of (x) is non-zero, so equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण करते समय हटाए गए बिंदु को क्षेत्र से बाहर ही रखें। / While simplifying, keep the removed point outside the domain.
