Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(x)=(x-1)2+3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-1)2+3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)2) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। / On \([1,\infty\)), ((x-1)2) increases, so equal images occur only for equal inputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें। / For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side.
क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। / On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.
Step 3
Exam Tip
परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है। / Taking only one side of a parabola can make the function one-one.
\(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। / \(e^x\) is increasing and (x) is also increasing.
Step 2
Why this answer is correct
दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। / The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें। / In such questions, quickly identify the increasing nature of the function.
(f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। / (f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है। / If a function changes direction, equal images may occur.
समान छवि के लिए दो अलग धनात्मक मान देखें। / Look for two different positive values with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) जैसे फलन में (x) और \(\frac{1}{x}\) की भूमिका ध्यान दें। / In functions like \(x+\frac{1}{x}\), notice the roles of (x) and \(\frac{1}{x}\).
\(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। / In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है। / The same formula can become one-one on a restricted domain.
\(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\) से विस्तार करने पर (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), इसलिए (5b=5a)। / From \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\), expanding gives (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), hence (5b=5a).
Step 3
Exam Tip
(a=b) मिलने से फलन एकैकी सिद्ध होता है। / Since (a=b), the function is one-one.
\(x\neq 2\) पर \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। / For \(x\neq 2\), \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) में (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए समान छवि से समान आगत मिलेगा। / In (x+2), the coefficient of (x) is non-zero, so equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण करते समय हटाए गए बिंदु को क्षेत्र से बाहर ही रखें। / While simplifying, keep the removed point outside the domain.
\(\arcsin x\) अपने क्षेत्र ([-1,1]) पर बढ़ता है। / \(\arcsin x\) is increasing on its domain ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
समान \(\arcsin\) मान होने पर आगत समान होगा। / Equal \(\arcsin\) values imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन बनने के लिए मूल फलन को एकैकी क्षेत्र पर सीमित किया जाता है। / To make an inverse function, the original function is restricted to a one-one domain.
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है क्योंकि दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / A decreasing function is also one-one because two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
एकैकीता के लिए बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / For one-one nature, increasing is not necessary; strictly decreasing is also enough.
\(\cos x\) सम फलन है। / \(\cos x\) is an even function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) और (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि आगत अलग हैं। / \(\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) and (\cos \left\(-\frac{\pi}{3}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
सम त्रिकोणमितीय फलन के सममित मानों को अवश्य जाँचें। / Always check symmetric values for an even trigonometric function.
अलग-अलग भागों से समान छवि मिल सकती है। / In a piecewise function, the images from different pieces must be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{3}{2}) केवल बाएँ भाग में अलग हैं, पर (f(-1)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)\neq1); अब (f(-1)=1) और दाएँ भाग में (2x+2=1) देने वाला \(x=-\frac{1}{2}\) क्षेत्र में नहीं है। इस जाँच से टकराव नहीं मिलता। / The left part gives values less than (2), while the right part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
फिर भी सीमा पर (f(0)=2) और बाएँ भाग में (x+2=2) देने वाला (x=0) क्षेत्र में नहीं है, इसलिए दोनों भाग अलग छवि-क्षेत्र रखते हैं और फलन एकैकी है। / Since each part is one-one and their image ranges do not overlap, the function is one-one.
पहले भाग में (x<1) होने पर छवियाँ (2) से छोटी मिलती हैं। / For (x<1), the first part gives values less than (2).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे भाग में \(x\geq1\) होने पर छवियाँ (2) या उससे बड़ी मिलती हैं, पर (f(0)=0) और (f(-1)= -2) अलग हैं। इस विभाजन से टकराव नहीं दिखता। / For \(x\geq1\), the second part gives values at least (2).
Step 3
Exam Tip
दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में बढ़ते हैं और परास अलग हैं, इसलिए सही निष्कर्ष एकैकी होना है। / Both parts are increasing and their ranges do not overlap, so the function is one-one.
(x<0) पर (x+3) का परास (3) से कम है। / For (x<0), the range of (x+3) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\geq0\) पर \(x^2+3\) का परास (3) या उससे अधिक है। / For \(x\geq0\), the range of \(x^2+3\) is at least (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों परास नहीं टकराते और दोनों भाग अपने क्षेत्र में एकैकी हैं, इसलिए पूरा फलन एकैकी है। / The two ranges do not overlap and both pieces are one-one on their domains, so the whole function is one-one.
एकैकी फलन में (A) के चार तत्वों को (B) के पाँच तत्वों में अलग-अलग छवियाँ देनी हैं। / In a one-one function, the four elements of (A) must get distinct images from the five elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
तरीकों की संख्या \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\) है। / The number of ways is \({}^5P_4=5\times4\times3\times2=120\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी गिनती में क्रम महत्व रखता है क्योंकि प्रत्येक आगत अलग है। / In one-one counting, order matters because each input is different.
एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व को (B) में अलग छवि चाहिए। / In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) तत्व हैं लेकिन (B) में केवल (3) तत्व हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
जब क्षेत्र में तत्व अधिक और सहप्रांत में कम हों तो एकैकी फलन संभव नहीं है। / When the domain has more elements than the codomain, a one-one function is impossible.
बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। / For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। / The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है। / When (|A|=|B|), a one-one function is also onto.
(f'(x)=1+\cos x) है जो कभी ऋणात्मक नहीं होता। / (f'(x)=1+\cos x), which is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
फलन घटता नहीं है और (x) वाला भाग आगे बढ़ते हुए मानों को अलग रखता है। / The function does not decrease, and the (x) term keeps values separated as inputs move forward.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है पर ऋणात्मक न होना एकैकीता की जाँच में सहायक है। / A derivative may become zero at points, but being non-negative can help in checking one-one nature.
(f'(x)=1-\cos x) है जो हमेशा (0) या धनात्मक रहता है। / (f'(x)=1-\cos x), which is always zero or positive.
Step 2
Why this answer is correct
फलन पीछे नहीं लौटता, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देते। / The function does not turn back, so two different inputs do not give the same image.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय मिश्रित फलनों में अवकलज की दिशा देखकर निर्णय लें। / For mixed trigonometric functions, decide by checking the direction through the derivative.
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(x^2\) के कारण सममित प्रभाव आता है। / On the whole real domain, \(x^2\) introduces a symmetric growth effect.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0), पर ऋणात्मक क्षेत्र में फलन घट-बढ़ कर फिर समान मान ले सकता है। / The function changes direction because (f'(x)=\cos x+2x) is negative for some negative (x) and positive for large positive (x).
Step 3
Exam Tip
जब फलन पूरे क्षेत्र में एक दिशा में नहीं चलता, तो एकैकीता संदिग्ध होती है; यहाँ यह एकैकी नहीं है। / Since the function is not strictly in one direction on all of \(\mathbb{R}\), it is not one-one.
\(x^2\) में (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In \(x^2\), (x) and (-x) give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=e) और (f(-1)=e), जबकि \(1\neq -1\)। / Therefore (f(1)=e) and (f(-1)=e), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
बाहरी फलन एकैकी हो फिर भी अंदर का भाग एकैकी न हो तो पूरा फलन एकैकी नहीं हो सकता। / Even if the outer function is one-one, the whole function may fail if the inner part is not one-one.
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))) से (f\(a_1\)=f\(a_2\)), क्योंकि (g) एकैकी है। फिर \(a_1=a_2\), क्योंकि (f) एकैकी है। / From (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), we get (f\(a_1\)=f\(a_2\)) because (g) is one-one. Then \(a_1=a_2\) because (f) is one-one.
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
महत्तम पूर्णांक फलन में एक ही अंतराल के कई मानों की छवि समान होती है। / In the greatest integer function, many values in the same interval have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\neq1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\neq1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलन पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकी नहीं होता। / A step function is not one-one on the whole real domain.
प्राकृतिक संख्याओं में (n) बढ़ने पर \(n^2\) और (n) दोनों बढ़ते हैं। / In natural numbers, as (n) increases, both \(n^2\) and (n) increase.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(n^2+n\) भी बढ़ता है और अलग (n) अलग छवि देते हैं। / Hence \(n^2+n\) also increases and different (n) give different images.
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र पूर्णांकों पर अलग व्यवहार कर सकता है, क्षेत्र ध्यान से पढ़ें। / The same formula may behave differently on integers, so read the domain carefully.
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2)। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक भाग पर छवि ऋणात्मक और धनात्मक भाग पर छवि धनात्मक है, तथा दोनों भाग अपने-अपने क्षेत्र में एकैकी हैं। / The negative part gives negative images and the positive part gives positive images, while each part is one-one on its domain.
Step 3
Exam Tip
खंडों का परास अलग हो तो पूरा फलन एकैकी हो सकता है। / If the ranges of pieces are separated, the whole function can be one-one.
\(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। / For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है। / The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one.
एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To check one-one nature, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है। / In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero.
