Its derivative \(5x^4+3x^2+1>0\), so it is strictly increasing and covers both infinite directions.
Step 3
Exam Tip
For increasing polynomials, identifying the range becomes easier. चरण 1: यह सतत विषम घात का बहुपद है। चरण 2: इसका अवकलज \(5x^4+3x^2+1>0\) है इसलिए यह लगातार बढ़ता है और दोनों अनंत दिशाएँ ढकता है। चरण 3: बढ़ते हुए बहुपद में परास पहचानना आसान हो जाता है।
On the whole real domain, \(x^2\) introduces a symmetric growth effect.
Step 2
Why this answer is correct
The function changes direction because (f'(x)=\cos x+2x) is negative for some negative (x) and positive for large positive (x).
Step 3
Exam Tip
Since the function is not strictly in one direction on all of \(\mathbb{R}\), it is not one-one. चरण 1: पूरे वास्तविक क्षेत्र पर \(x^2\) के कारण सममित प्रभाव आता है। चरण 2: (f(0)=0), पर ऋणात्मक क्षेत्र में फलन घट-बढ़ कर फिर समान मान ले सकता है। चरण 3: जब फलन पूरे क्षेत्र में एक दिशा में नहीं चलता, तो एकैकीता संदिग्ध होती है; यहाँ यह एकैकी नहीं है।
The function does not decrease, and the (x) term keeps values separated as inputs move forward.
Step 3
Exam Tip
A derivative may become zero at points, but being non-negative can help in checking one-one nature. चरण 1: (f'(x)=1+\cos x) है जो कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: फलन घटता नहीं है और (x) वाला भाग आगे बढ़ते हुए मानों को अलग रखता है। चरण 3: अवकलज शून्य हो सकता है पर ऋणात्मक न होना एकैकीता की जाँच में सहायक है।
(f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
If a function changes direction, equal images may occur. चरण 1: (f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। चरण 2: फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 3: यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है।
