This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method. चरण 1: अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। चरण 2: यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है।
A cubic form is strictly increasing on the whole real domain, so two different (x)-values cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first try to identify a perfect cubic form. चरण 1: दिए गए फलन को (f(x)=(x+2)3+1) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: घन रूप पूरे वास्तविक प्रांत पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए दो अलग (x) मानों के प्रतिबिंब समान नहीं होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण घन पहचानने की कोशिश करें।
The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images. चरण 1: (A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। चरण 2: विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। चरण 3: साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता।
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions. चरण 1: एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। चरण 2: (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है।
The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first. चरण 1: लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। चरण 3: लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें।
To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images. चरण 1: एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। चरण 3: बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें।
Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is always one-one. चरण 1: \(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है।
\(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex. चरण 1: \(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। चरण 2: यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। चरण 3: द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए।
(0) and (6) are equally distant from (3), so (f(0)=10) and (f(6)=10).
Step 3
Exam Tip
For quadratics quickly test points equally distant from the vertex. चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है। चरण 2: (0) और (6), (3) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(0)=10) और (f(6)=10)। चरण 3: द्विघात फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी जांचें।
\(2x^3-5\) is a transformation of the cube function.
Step 2
Why this answer is correct
From \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\), we get \(x_1^3=x_2^3\), so \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
Stretching and shifting the cube function does not destroy injectivity. चरण 1: \(2x^3-5\) घन फलन का रूपांतरण है। चरण 2: \(2x_1^3-5=2x_2^3-5\) से \(x_1^3=x_2^3\), इसलिए \(x_1=x_2\)। चरण 3: घन फलन पर खिंचाव और स्थानांतरण करने से एक-एकता नहीं बदलती।
The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। चरण 2: इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। चरण 3: \(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है।
As (x) increases, \(x^2+1\) and then \(\sqrt{x^2+1}\) increase.
Step 3
Exam Tip
On the correct domain this square-root function becomes one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2+1\) और फिर \(\sqrt{x^2+1}\) भी बढ़ता है। चरण 3: सही प्रांत पर वर्गमूल वाला यह फलन एक-एक हो जाता है।
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
Because of \(x^2\), opposite inputs give the same inner value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\sqrt2) and (f(-1)=\sqrt2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Before focusing on the square root, check the square inside it. चरण 1: \(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान अंदरूनी मान देते हैं। चरण 2: (f(1)=\sqrt2) और (f(-1)=\sqrt2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: वर्गमूल होने से पहले अंदर के वर्ग को ध्यान से देखें।
Absolute value gives the same value to inputs equally distant from the center.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=1) and (f(3)=1).
Step 3
Exam Tip
On the whole real domain an absolute value function is generally not one-one. चरण 1: निरपेक्ष मान केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। चरण 2: (1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=1) और (f(3)=1)। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर निरपेक्ष मान फलन आम तौर पर एक-एक नहीं होता।
Therefore (|x-2|=2-x), which is a decreasing linear function.
Step 3
Exam Tip
A decreasing linear function is also one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\le2\) है। चरण 2: इसलिए (|x-2|=2-x), जो घटने वाला रैखिक फलन है। चरण 3: घटने वाला रैखिक फलन भी एक-एक होता है।
Therefore (|x-2|=x-2), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
Restricting an absolute value function to one side can make it one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge2\) है। चरण 2: इसलिए (|x-2|=x-2), जो बढ़ने वाला रैखिक फलन है। चरण 3: निरपेक्ष मान को एक ओर सीमित करने से फलन एक-एक बन सकता है।
Therefore the function is one-one on its given domain. चरण 1: यह रैखिक भिन्नात्मक रूप है। चरण 2: यहां \(ad-bc=2\cdot3-1\cdot1=5\neq0\)। चरण 3: इसलिए अपने दिए गए प्रांत पर यह फलन एक-एक है।
D. यदि \(a\neq b\), तो (f(a)\neq f(b))/If \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b))
Step 1
Concept
Injectivity means different inputs have different images.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
Remember both forms of the definition to handle proofs easily. चरण 1: एक-एकता का अर्थ है अलग आगतों के प्रतिबिंब अलग हों। चरण 2: इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। चरण 3: परिभाषा को दोनों रूपों में याद रखें, इससे प्रमाण आसान होते हैं।
\(x^5\), \(x^3\), and (x) are all increasing terms.
Step 2
Why this answer is correct
As (x) increases, their sum also increases.
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one, so this function is one-one. चरण 1: \(x^5\), \(x^3\) और (x) सभी बढ़ने वाले पद हैं। चरण 2: (x) बढ़ने पर इनका योग भी बढ़ता है। चरण 3: लगातार बढ़ने वाला फलन एक-एक होता है, इसलिए यह फलन एक-एक है।
To disprove injectivity, show the same value at different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).
Step 3
Exam Tip
Multiple roots giving the same output quickly break injectivity. चरण 1: एक-एकता को गलत करने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएं। चरण 2: (f(-1)=0), (f(0)=0), और (f(1)=0) है। चरण 3: बहुपद में शून्य देने वाले अनेक मान एक-एकता को तुरंत तोड़ देते हैं।
As (x) increases, both \(x^2\) and \(x^4\) increase.
Step 3
Exam Tip
Therefore different inputs give different outputs and the function is one-one. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\ge0\) है। चरण 2: (x) बढ़ने पर \(x^2\) और \(x^4\) दोनों बढ़ते हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग आगत अलग-अलग मान देंगे और फलन एक-एक होगा।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain. चरण 1: नियम में सभी घात सम हैं। चरण 2: (f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते।
For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly. चरण 1: तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। चरण 2: संख्या (3!=6) होगी। चरण 3: बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है।
On the given interval \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore two different (x)-values cannot have the same tangent value.
Step 3
Exam Tip
Taking \(\tan x\) on a suitable restricted interval gives injectivity. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए दो अलग (x) के लिए समान \(\tan x\) नहीं मिलेगा। चरण 3: \(\tan x\) को सही सीमित अंतराल पर लेने से एक-एकता मिलती है।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
In a strictly decreasing function two different inputs cannot give the same value.
Step 3
Exam Tip
A decreasing function can also be one-one. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: लगातार घटने वाले फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। चरण 3: घटता हुआ फलन भी एक-एक होता है।
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions check the interval carefully. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। चरण 2: \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें।
For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one. चरण 1: (x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। चरण 2: \(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। चरण 3: हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है।
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
The rule contains only \(x^2\), so (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) and (f(-1)=0), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
In rational expressions with even powers, test opposite inputs quickly. चरण 1: नियम में केवल \(x^2\) है, इसलिए (x) और (-x) समान मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: सम घात वाले भिन्न रूप में विपरीत आगत तुरंत जांचें।
From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying. चरण 1: समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। चरण 2: \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। चरण 3: रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें।
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
Same value at two different inputs destroys injectivity. चरण 1: भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। चरण 2: (f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। चरण 3: दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती।
