Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/Onto but not one-one
Step 1
Concept
([-2,2]) पर \(x^2\) का परिसर ([0,4]) है। / On ([-2,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत बराबर है इसलिए आच्छादी है, पर (f(-1)=f(1)) होने से एकैकी नहीं। / The codomain is the same, so it is onto, but (f(-1)=f(1)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में समान मान वाले दो (x) मिल सकते हैं। / Even functions often give equal outputs for different inputs.
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
A. सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है/It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
Step 1
Concept
यहाँ सहप्रांत केवल \([0,\infty\)) है। / Here the codomain is only \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
इस सहप्रांत के हर (y) के लिए \(\sqrt{y}\) भी प्रांत में है और (f\(\sqrt{y}\)=y) है। / For every (y) in this codomain, \(\sqrt{y}\) lies in the domain and (f\(\sqrt{y}\)=y).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग सहप्रांत के साथ अलग उत्तर दे सकता है। / The same formula may give a different answer when the codomain changes.
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because negative real values are not obtained
Step 1
Concept
\(x^2\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / The value of \(x^2\) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान भी हैं, पर वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय परास और सहप्रांत की तुलना करें। / To test onto nature, compare range with codomain.
प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों मौजूद हैं। / Both (1) and (-1) are present in integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), लेकिन \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन सममित होता है, इसलिए बड़े प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / The square function is symmetric, so it is generally not one-one on a large symmetric domain.
\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.
दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.
प्राकृतिक संख्याएं धनात्मक दिशा में बढ़ती हैं। / Natural numbers move in the positive direction.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(m^2=n^2\) और \(m,n\in\mathbb{N}\), तो (m=n) होगा। / If \(m^2=n^2\) and \(m,n\in\mathbb{N}\), then (m=n).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन \(\mathbb{R}\) पर नहीं, लेकिन \(\mathbb{N}\) पर एकैकी होता है। / The square function is not one-one on \(\mathbb{R}\), but it is one-one on \(\mathbb{N}\).
दिए गए प्रांत में सभी \(x\leq0\) हैं। / In the given domain, all \(x\leq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन ऋणात्मक आधे प्रांत पर भी एकैकी होता है। / The square function is also one-one on the non-positive half-domain.
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^2\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x^2+3\) भी उसी प्रांत पर बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देंगे। / \(2x^2+3\) also increases on that domain, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को धनात्मक आधे प्रांत पर रखने से एकैकीपन मिलता है। / A square function becomes one-one when restricted to the non-negative half-domain.
A. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/It is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(f(1)=2+3=5) है। / (f(1)=2+3=5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=2+3=5) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=2+3=5), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग के साथ धनात्मक गुणांक होने पर भी पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकीपन नहीं आता। / A positive coefficient with a square does not make it one-one on all real numbers.
