Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. यह विदेशी मांग को घरेलू उत्पादन पर जोड़ता है/It adds foreign demand to domestic output
Explanation
Simple Explanation
निर्यात विदेशी क्षेत्र से देश में खर्च लाते हैं। परीक्षा में exports as injection याद रखें। / Exports bring spending into the country from foreign sector. In exams remember exports as injection.
A. यह कुल खर्च और आय प्रवाह में मांग जोड़ता है/It adds demand to total spending and income flow
Explanation
Simple Explanation
सरकारी व्यय कुल मांग को बढ़ा सकता है। परीक्षा में government expenditure as injection याद रखें। / Government expenditure can increase aggregate demand. In exams remember government expenditure as injection.
A. क्योंकि विदेशी मांग घरेलू आय प्रवाह में खर्च जोड़ती है/Because foreign demand adds spending to domestic income flow
Explanation
Simple Explanation
निर्यात विदेशी क्षेत्र से घरेलू उत्पादन पर मांग लाते हैं। परीक्षा में exports as injection याद रखें। / Exports bring demand for domestic output from foreign sector. In exams remember exports as injection.
A. विदेशी मांग घरेलू आय प्रवाह में खर्च जोड़ती है/Foreign demand adds spending to domestic income flow
Explanation
Simple Explanation
निर्यात देश में आय और उत्पादन को बढ़ा सकता है। परीक्षा में exports as injection याद रखें। / Exports can raise income and output in the country. In exams remember exports as injection.
A. यह आय प्रवाह में खर्च जोड़ता है/It adds spending into income flow
Explanation
Simple Explanation
सरकारी व्यय कुल मांग में योगदान दे सकता है। परीक्षा में government expenditure as injection याद रखें। / Government expenditure can contribute to aggregate demand. In exams remember government expenditure as injection.
A. आय प्रवाह में जोड़ा गया खर्च/Spending added to income flow
Explanation
Simple Explanation
निवेश सरकारी खर्च और निर्यात आय प्रवाह में injection माने जा सकते हैं। परीक्षा में injection examples याद रखें। / Investment government expenditure and exports can be injections into income flow. In exams remember injection examples.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चूंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), meaning (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में बाएं वाले फलन के एकैकी होने का निष्कर्ष ऐसे निकाला जाता है। / In composition, this is how one concludes that the first function is one-one.
(1) का प्रतिबिंब (5) पहले से तय है। / The image of (1) is already fixed as (5).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (3) अवयवों के लिए (B) में (4) बचे हुए अलग प्रतिबिंब उपलब्ध हैं, इसलिए संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The remaining (3) elements must be mapped to distinct elements among the remaining (4) elements of (B), giving \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
तय प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में पहले निश्चित जोड़ी को अलग कर दें। / In fixed-image questions, remove the fixed pair first.
तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। / All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For finite sets, a value table quickly checks one-one nature.
प्रांत में (4) अवयव हैं और सहप्रांत में (3) अवयव हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन में चारों प्रांत अवयवों को अलग-अलग प्रतिबिंब चाहिए, जो केवल (3) अवयवों में संभव नहीं। / A one-one function needs four distinct images, which is impossible with only (3) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the codomain is smaller than the domain, no one-one function exists.
(g(f(a))=g(f(b))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f(a)=f(b))। फिर (f) एकैकी होने से (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), and since (g) is one-one, (f(a)=f(b)). Since (f) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करें। / In composition questions, apply the definition directly.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
फलन में प्रत्येक प्रांत अवयव का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (3) have image (5), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय समान प्रतिबिंबों पर विशेष ध्यान दें। / While checking one-one nature, focus on repeated images.
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। / To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है। / In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है। / Remember that order matters in function assignment.
