Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. आच्छादी फलन बन सकता है/An onto function can exist
Step 1
Concept
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। / For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। / Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें। / When possibility is asked, first compare the sizes.
A. नहीं, क्योंकि सहप्रांत में अधिक अवयव हैं/No, because the codomain has more elements
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (3) अवयव हैं और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has only (3) elements while (B) has (5), so covering all elements of (B) is impossible.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge|B|\) जरूरी है। / For finite sets, onto requires \(|A|\ge|B|\).
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। / The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं। / Hence the maximum possible size of (B) is (5).
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में (2) अवयव हैं और सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (2) elements and the codomain has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
दो आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में (3) अवयव हैं, पर सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। / Here the domain has (3) elements, but the codomain has (4).
Step 3
Exam Tip
तीन आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Three inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists.
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रान्त में केवल (2) अवयव हैं, जबकि सहप्रान्त में (3) अवयव हैं। / Here the domain has only (2) elements, while the codomain has (3).
Step 3
Exam Tip
दो आगत तीन अलग छवियों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा। / Two inputs cannot cover three distinct codomain elements, so no onto function exists.
कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है, जहाँ (m) प्रान्त के अवयव हैं और (n) सहप्रान्त के। / The number of functions is \(n^m\), where (m) is the number of domain elements and (n) is the number of codomain elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (m=2) और (n=4)। / Here (m=2) and (n=4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(4^2=16\) है। / Therefore the number is \(4^2=16\).
