A. आच्छादी फलन बन सकता है/An onto function can exist
Step 1
Concept
For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
When possibility is asked, first compare the sizes. चरण 1: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। चरण 2: यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। चरण 3: संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें।
A. नहीं, क्योंकि सहप्रांत में अधिक अवयव हैं/No, because the codomain has more elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements while (B) has (5), so covering all elements of (B) is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, onto requires \(|A|\ge|B|\). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) अवयव हैं और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge|B|\) जरूरी है।
For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0). चरण 1: एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। चरण 2: यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। चरण 3: जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें।
In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Hence the maximum possible size of (B) is (5). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। चरण 2: (A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। चरण 3: इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं।
For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
In counting functions, the base is the number of elements in the codomain. चरण 1: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। चरण 2: (3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 3: फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (2) elements and the codomain has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Two inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में (2) अवयव हैं और सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। चरण 3: दो आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements, but the codomain has (4).
Step 3
Exam Tip
Three inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में (3) अवयव हैं, पर सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। चरण 3: तीन आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has only (2) elements, while the codomain has (3).
Step 3
Exam Tip
Two inputs cannot cover three distinct codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में केवल (2) अवयव हैं, जबकि सहप्रान्त में (3) अवयव हैं। चरण 3: दो आगत तीन अलग छवियों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
A. \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है/\(f^{-1}:B\to A\) is defined
Step 1
Concept
A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every image has exactly one preimage.
Step 3
Exam Tip
Hence the inverse function is defined from (B) to (A). चरण 1: उभयैक फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: इसलिए हर छवि की ठीक एक पूर्वछवि मिलती है। चरण 3: इसी कारण प्रतिलोम फलन (B) से (A) में परिभाषित होता है।
If the original function maps from (A) to (B), the inverse reverses the direction.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f^{-1}\) maps from (B) to (A). चरण 1: उभयैक फलन का प्रतिलोम अच्छी तरह परिभाषित होता है। चरण 2: यदि मूल फलन (A) से (B) में जाता है, तो प्रतिलोम दिशा बदल देता है। चरण 3: इसलिए \(f^{-1}\) (B) से (A) में फलन होगा।
The number of functions is \(n^m\), where (m) is the number of domain elements and (n) is the number of codomain elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here (m=2) and (n=4).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(4^2=16\). चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है, जहाँ (m) प्रान्त के अवयव हैं और (n) सहप्रान्त के। चरण 2: यहाँ (m=2) और (n=4)। चरण 3: इसलिए संख्या \(4^2=16\) है।
Total functions are \(2^3=8\). चरण 1: (A) में (3) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। चरण 2: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (2) छवि विकल्प होंगे। चरण 3: कुल फलन \(2^3=8\) होंगे।
