Replace (y) by (x), so (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}). चरण 1: मान लें (y=3x-5)। चरण 2: (x) को (y) के पदों में लिखने पर \(x=\frac{y+5}{3}\) मिलता है। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) रखने से (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}) होगा।
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है/(g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction. चरण 1: (f(x)=x-2+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। चरण 2: यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है।
Hence \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), and replacing (y) by (x) gives the inverse. चरण 1: \(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर (x) को अलग करें। चरण 2: (y(x-2)=3x+1) से (x(y-3)=2y+1) मिलता है। चरण 3: इसलिए \(x=\frac{2y+1}{y-3}\), और चर बदलने पर प्रतिलोम मिल जाता है।
Since the domain is \([3,\infty\)), \(x-3\geq0\), so the inverse is \(3+\sqrt{x-1}\). चरण 1: (f(x)=x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: (y=(x-3)2+1) से ((x-3)2=y-1) मिलता है। चरण 3: प्रांत \([3,\infty\)) है, इसलिए \(x-3\geq0\) और प्रतिलोम \(3+\sqrt{x-1}\) होगा।
A. \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है/\(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)
Step 1
Concept
One-one ensures each image has a unique original element.
Step 2
Why this answer is correct
Onto ensures every element of (B) is actually an image.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the inverse function exists from (B) to (A). चरण 1: एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। चरण 2: आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम फलन \(B\to A\) के रूप में मौजूद होता है।
(y(x-2)=x+2), so (x(y-1)=2y+2) and \(x=\frac{2y+2}{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
Replace (y) by (x) at the end to get the inverse. चरण 1: \(y=\frac{x+2}{x-2}\) लिखें। चरण 2: (y(x-2)=x+2), इसलिए (x(y-1)=2y+2) और \(x=\frac{2y+2}{y-1}\)। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) लिखने से प्रतिलोम मिलता है।
While finding inverse, first write (y=f(x)), then isolate (x). चरण 1: (y=2x-5) मानिए। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय पहले (y) लिखें, फिर (x) को अलग करें।
Then \(y+1=2x^3\), so \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\).
Step 3
Exam Tip
In inverse questions, isolate (x) first and then change the variable. चरण 1: \(y=2x^3-1\) मानें। चरण 2: \(y+1=2x^3\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\)। चरण 3: प्रतिलोम में पहले (x) को अलग करें, फिर चर बदलें।
Question 11/40HardMathematicsRelations and FunctionsFunctionsClass 12Level 19
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-2) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x+2}{3}) से दिया गया है, तो (g) और (f) के बीच क्या संबंध है?
This matches the form of (g(y)), so (g) is the inverse function.
Step 3
Exam Tip
You can also verify an inverse by checking (f(g(x))=x) or (g(f(x))=x). चरण 1: (y=3x-2) से \(x=\frac{y+2}{3}\) मिलता है। चरण 2: यही (g(y)) का रूप है, इसलिए (g) प्रतिलोम फलन है। चरण 3: प्रतिलोम जांचने के लिए (f(g(x))) या (g(f(x))) भी (x) होना चाहिए।
Hence the inverse function is the same as the original function. चरण 1: \(y=\frac{1}{x}\) मानें। चरण 2: इससे \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम फलन मूल फलन जैसा ही है।
While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end. चरण 1: (y=2x-5) मानें। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें।
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) is the inverse of (f), so \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (g), (f) का प्रतिलोम है और \(g=f^{-1}\) होगा।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7}). चरण 1: \(y=x^3-7\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y+7\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y+7}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7})।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(6)=0), while \(0\ne6\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(6)=0), जबकि \(0\ne6\)। चरण 3: एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5}). चरण 1: \(y=\frac{5x+1}{2}\) लिखें। चरण 2: (2y=5x+1), इसलिए \(x=\frac{2y-1}{5}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5})।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(4)) के लिए \(x^3-4=4\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
(f^{-1}(23)) means the value of (x) for which (f(x)=23).
Step 2
Why this answer is correct
From (4x+7=23), we get (4x=16), so (x=4).
Step 3
Exam Tip
To find an inverse value, equate the original function to the given value and solve. चरण 1: (f^{-1}(23)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=23)। चरण 2: (4x+7=23) से (4x=16), इसलिए (x=4)। चरण 3: प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखकर हल करें।
A. (f) उभयैक है और \(g=f^{-1}\)/(f) is bijective and \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
Both compositions give identity functions.
Step 2
Why this answer is correct
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f) is bijective and (g) is the inverse of (f). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (f) उभयैक है और (g), (f) का प्रतिलोम है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}). चरण 1: \(y=x^3+5\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y-5\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y-5}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5})।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\ne-2\)। चरण 3: एक छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3}). चरण 1: \(y=\frac{3x-2}{4}\) लिखें। चरण 2: (4y=3x-2), इसलिए \(x=\frac{4y+2}{3}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{3})।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(10)) के लिए \(x^3+2=10\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
(f^{-1}(13)) means the value of (x) for which (f(x)=13).
Step 2
Why this answer is correct
From (2x+5=13), we get (2x=8), so (x=4).
Step 3
Exam Tip
While finding an inverse value, equate the original function to the given value. चरण 1: (f^{-1}(13)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=13)। चरण 2: (2x+5=13) से (2x=8), इसलिए (x=4)। चरण 3: प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखें।
Therefore \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को उलटते हैं। चरण 3: इसलिए \(g=f^{-1}\) होगा।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Here (f(1)=f(-1)=1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: यहाँ (f(1)=f(-1)=1), जबकि \(1\ne-1\)। चरण 3: एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2}). चरण 1: \(y=\frac{2x+1}{3}\) लिखें। चरण 2: (3y=2x+1), इसलिए \(x=\frac{3y-1}{2}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{3x-1}{2})।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(7)) के लिए \(x^3-1=7\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
