यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) जहाँ (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), where (f(x)=\frac{1}{x}), choose the correct statement about (f).
#reciprocal function
#bijection
#onto function
A (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
B (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
C (f) केवल धनात्मक मान देता है / (f) gives only positive values
D (f) (0) को प्रतिबिंबित करता है / (f) maps to (0)
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Correct Answer
A. (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता और प्रांत में (0) नहीं है। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), and (0) is excluded from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ne0\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any \(y\ne0\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (y) से (x) निकालकर जाँचें। / For reciprocal functions, solve for (x) in terms of (y).
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), which statement about (f) is correct?
#onto function
#reciprocal function
#preimage
#real numbers
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) नहीं मिलता / It is not onto because (-1) is not obtained
D यह सु-परिभाषित नहीं है / It is not well-defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी मान \(y\ne0\) मानिए। / Let any codomain value be \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। / Taking \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलनों में (x) को (y) के रूप में लिखकर आच्छादकता जाँचें। / For reciprocal functions, write (x) in terms of (y) to test onto.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) जहाँ (f(x)=\frac{1}{x}), सर्वाच्छादक क्यों नहीं है?
Why is \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), where (f(x)=\frac{1}{x}), not onto?
#onto function
#reciprocal function
#not onto
#class 12
A क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर छवि नहीं बनता / Because (0) is in the codomain but is not an image
B क्योंकि (1) छवि नहीं बनता / Because (1) is not an image
C क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता / Because (-1) is not an image
D क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ छवि बनती हैं / Because all real numbers are images
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर छवि नहीं बनता / Because (0) is in the codomain but is not an image
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) के बराबर नहीं हो सकता। / \(\frac{1}{x}\) can never be equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, इसलिए एक अवयव छूट गया। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes (0), so one element is missed.
Step 3
Exam Tip
हर में चर वाले फलनों में शून्य छवि बन सकता है या नहीं, यह जरूर देखें। / For reciprocal-type functions, always check whether (0) can be an output.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो सही विकल्प क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct option?
#relations-functions
#reciprocal-function
#onto-function
A आच्छादी और एकैकी / Onto and one-one
B आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न आच्छादी न एकैकी / Neither onto nor one-one
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. आच्छादी और एकैकी / Onto and one-one
Step 1
Concept
किसी भी \(y\ne 0\) के लिए \(y=\frac{1}{x}\) से \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / For any \(y\ne 0\), from \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (x) भी शून्य नहीं है, इसलिए प्रांत में है। अतः फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(\frac{1}{x}\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / This (x) is also non-zero, so it lies in the domain. Hence the function is onto. Different (x) values give different reciprocals, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में शून्य को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, removing zero from domain and codomain is essential.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}), which statement is correct?
#reciprocal function
#onto
#nonzero range
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। / From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं। / Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x}), why is (f) not onto?
#reciprocal function
#not onto
#zero missing
#codomain
A क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (-1) नहीं मिलता / Because (-1) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) कभी भी (0) के बराबर नहीं होता। / \(\frac{1}{x}\) is never equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, पर वह परास में नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में (0) के मिलने या न मिलने की जांच करें। / For reciprocal functions, check whether (0) is included in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{1}{x}), choose the correct statement.
#reciprocal function
#onto
#nonzero real numbers
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{1}{y}\) रखने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। / Put \(x=\frac{1}{y}\), then \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन सही प्रांत और सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The reciprocal function is onto with the correct domain and codomain.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\frac{1}{x}) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement is correct about (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)), (f(x)=\frac{1}{x})?
#reciprocal function
#one-one
#direct proof
#domain
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मान लें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), is (f) one-one?
#reciprocal function
#real domain
#one-one function
#hard
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (x>0) के लिए / Only for (x>0)
D केवल (x<0) के लिए / Only for (x<0)
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रांत में शून्य को हटाया गया है, इसलिए फलन ठीक से परिभाषित है। / Zero is removed from the domain, so the function is well-defined.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\) से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), we get \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक और धनात्मक दोनों भाग मिलकर भी यहां एक-एकता नहीं बिगाड़ते। / Negative and positive parts together do not destroy injectivity here.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal function
#one-one function
#domain
#class 12
A (f) एक-एक है / (f) is one-one
B (f) एक-एक नहीं है / (f) is not one-one
C (f) हर जगह शून्य है / (f) is zero everywhere
D (f) (x=0) पर भी परिभाषित है / (f) is also defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) एक-एक है / (f) is one-one
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) में समान मान मानकर जांच करें। / Test the function by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), तो \(x_1=x_2\) मिलता है। / If \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में प्रांत देखकर ही निष्कर्ष निकालें। / For reciprocal functions always check the domain first.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#one-one function
#reciprocal function
#domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C शून्य पर निर्भर स्थिर फलन है / Constant depending on zero
D हर दो आगत समान निर्गत देते हैं / Every two inputs give same output
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) और (a,b>0) होने से (a=b)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) with (a,b>0) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने वैध क्षेत्र में अलग-अलग आगतों को अलग-अलग निर्गत देता है। / A reciprocal function gives distinct outputs for distinct inputs in its valid domain.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal-function
#positive-domain
#one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D डोमेन में कोई संख्या नहीं है / Domain has no number
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b)), जहां (a,b>0)। / Assume (f(a)=f(b)), where (a,b>0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में समान प्रतिबिंब तभी होगा जब आगत समान हों। / In the reciprocal function, equal images occur only for equal inputs.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}).
#relations-functions
#one-one-function
#reciprocal-function
#positive-domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। / Let (f(a)=f(b)), where (a,b>0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है। / In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{2}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{2}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#positive-domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D अपरिभाषित / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a,b>0) होने से (a=b) निष्कर्ष निकलता है। / Since (a,b>0), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम जैसा नियम अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / A reciprocal-type rule is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) और (f(x)=\frac{1}{x}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}-{0}\) and (f(x)=\frac{1}{x}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#reciprocal-function
#domain
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने से (a=b) निष्कर्ष मिलता है। / Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), this gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन अपने उचित प्रांत पर एकैकी होता है। / The reciprocal function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) is given by (f(x)=\frac{1}{x}), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#reciprocal function
#bijection
A \(\frac{1}{x}\)
B (x)
C \(-\frac{1}{x}\)
D \(x^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{x}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{1}{x}\) मानें। / Put \(y=\frac{1}{x}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / This gives \(x=\frac{1}{y}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम फलन मूल फलन जैसा ही है। / Hence the inverse function is the same as the original function.
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