यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए किसी \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=5x-11), what will be the preimage of any \(y\in\mathbb{R}\) to show that (f) is onto?
#onto function
#linear function
#preimage
#relations and functions
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? Hint Small clue
A \(x=\frac{y+11}{5}\)
B \(x=\frac{y-11}{5}\)
C \(x=5y+11\)
D \(x=11-5y\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{y+11}{5}\)
Step 1
Concept
आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx+3) है, तो (f) कब आच्छादी होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=kx+3), when will (f) be onto?
#parameter
#onto function
#linear function
#surjective
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? Hint Small clue
A \(k\ne0\)
B \(k=0\)
C \(k=3\) ही / Only (k=3)
D हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
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Correct Answer
A. \(k\ne0\)
Step 1
Concept
यदि (k=0), तो फलन स्थिर (3) बन जाएगा और सभी वास्तविक मान नहीं देगा। / If (k=0), the function becomes the constant (3), so it cannot give all real values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(k\ne0\), तो किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-3}{k}\) मिल जाता है। / If \(k\ne0\), for any (y), \(x=\frac{y-3}{k}\) exists.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में रैखिक फलन आच्छादी तभी होता है जब ढाल शून्य न हो। / A linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto exactly when its slope is non-zero.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), choose the correct statement.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह \([0,\infty\)) पर आच्छादी है / It is onto \([0,\infty\))
D यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी है / It is onto \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x-2 -4x+7=(x-2)2 +3) है। / (x-2 -4x+7=(x-2)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें। / For a quadratic function, complete the square to find the range quickly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=x-2 -4x+7), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
B क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
C क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
D क्योंकि सभी अऋणात्मक मान मिलते हैं / Because all non-negative values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (1) is not obtained
Step 1
Concept
(f(x)=(x-2)2 +3), इसलिए परास \([3,\infty\)) है। / (f(x)=(x-2)2 +3), so the range is \([3,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में सहप्रांत का हर मान मिलना चाहिए, केवल कुछ मान नहीं। / For onto nature, every codomain value must be obtained, not just some values.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=5-(x+2)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=5-(x+2)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (5) मान देता है / It gives only value (5)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+2)2 \ge0), इसलिए (5-(x+2)2 \le5)। / Since ((x+2)2 \ge0), (5-(x+2)2 \le5).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le5\) के लिए \(x=-2+\sqrt{5-y}\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le5\), take \(x=-2+\sqrt{5-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे की ओर खुला द्विघात सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward-opening quadratic can be onto a suitable codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|3x-6|-4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[-4,\infty\)), (f(x)=|3x-6|-4), choose the correct option.
#modulus function
#onto
#absolute value
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (-5) मान देता है / It gives value (-5)
D यह केवल (-4) मान देता है / It gives only value (-4)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|3x-6|\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-4)। / \(|3x-6|\ge0\), so (f(x)\ge-4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge-4\) के लिए (3x-6=y+4) रख सकते हैं, जिससे \(x=\frac{y+10}{3}\) मिलता है। / For every \(y\ge-4\), set (3x-6=y+4), giving \(x=\frac{y+10}{3}\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले रैखिक रूप का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है। / The range of a modulus of a linear expression starts from its minimum value.
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यदि (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)) है, तो (f) आच्छादी क्यों है?
If (f:\(2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-2)), why is (f) onto?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
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? Hint Small clue
A हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
B हर (y) के लिए (x=y+2) लेना जरूरी है / For every (y), one must take (x=y+2)
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=2) पर भी परिभाषित है / It is also defined at (x=2)
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Correct Answer
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है / For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (4) मान देता है / It gives value (4)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^{2x}\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(4) जोड़ने से परास (\(4,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (4) gives range (\(4,\infty\)), which equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में खुला सिरा कभी शामिल नहीं होता। / In exponential functions, the open endpoint is never included.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=e^{2x}+4), why is it not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
B क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{0}\), (f(x)=\frac{2}{x-3}), which statement is correct?
#reciprocal function
#onto
#nonzero range
#preimage
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ne0\) लें। / Take any codomain value \(y\ne0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{x-3}=y\) से \(x=3+\frac{2}{y}\) मिलता है, जो (3) नहीं है। / From \(\frac{2}{x-3}=y\), we get \(x=3+\frac{2}{y}\), which is not (3).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलन उचित सहप्रांत पर आच्छादी होते हैं। / Reciprocal-type functions are onto when the codomain is chosen correctly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए (x) का रूप क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what form of (x) shows that (f) is onto?
#rational function
#onto
#fractional linear
#preimage
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? Hint Small clue
A \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
B \(x=\frac{y-3}{y+2}\)
C \(x=\frac{2y+3}{y-1}\)
D \(x=y-2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(x=\frac{y+3}{y-2}\)
Step 1
Concept
\(\frac{2x+3}{x-1}=y\) रखें। / Put \(\frac{2x+3}{x-1}=y\).
Step 2
Why this answer is correct
(2x+3=xy-y), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। / Then (2x+3=xy-y), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
चूंकि सहप्रांत में (y=2) नहीं है, यह पूर्वप्रतिबिंब मान्य रहता है। / Since (y=2) is not in the codomain, this preimage is valid.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=x-4 +1), what is the correct statement about (f)?
#even power
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\), इसलिए \(x^4+1\ge1\)। / \(x^4\ge0\), so \(x^4+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt[4]{y-1}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge1\), take \(x=\sqrt[4]{y-1}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला फलन सही अऋणात्मक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / An even-power function can be onto a suitable non-negative codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-4 +1), why is (f) not onto?
#even power
#not onto
#minimum value
#real codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि हर वास्तविक मान मिलता है / Because every real value is obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^4+1\) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of \(x^4+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक सहप्रांत के लिए न्यूनतम सीमा से नीचे के मानों को जरूर देखें। / For a real codomain, always check values below the minimum range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x) है, तो आच्छादीपन के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), what is correct about onto nature?
#cubic polynomial
#onto
#continuity
#real range
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह सीमित परास वाला है / It has a bounded range
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3-3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसा सतत घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है। / Such a continuous cubic polynomial takes all real values.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 -3x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-3 -3x), why is (f) not onto?
#restricted domain
#not onto
#cubic polynomial
#range
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? Hint Small clue
A क्योंकि इसका परास नीचे से सीमित है / Because its range is bounded below
B क्योंकि यह केवल धनात्मक मान देता है / Because it gives only positive values
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि इसका परास नीचे से सीमित है / Because its range is bounded below
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत पर फलन का न्यूनतम मान (x=1) पर (-2) है। / On the given domain, the minimum value occurs at (x=1) and is (-2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (-3) जैसा वास्तविक सहप्रांत मान नहीं मिल सकता। / Therefore, a real codomain value like (-3) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का आच्छादीपन बदल सकता है। / Changing the domain can change the onto nature of the same formula.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो (f) के आच्छादी होने का मुख्य कारण क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), what is the main reason that (f) is onto?
#cosine function
#onto
#trigonometry
#restricted domain
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A यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है / It takes all values from (1) to (-1)
B यह केवल (0) मान देता है / It gives only (0)
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह सहप्रांत से बाहर मान देता है / It gives values outside the codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है / It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। / \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है। / For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{2}]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?
#sine function
#not onto
#range
#codomain
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A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{2}]\), the range of \(\sin x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में प्रांत सीमित करने का प्रभाव तुरंत जांचें। / In onto questions, immediately check the effect of domain restriction.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement is correct?
#tangent function
#onto
#standard interval
#preimage
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([-1,1]) में मान देता है / It gives values only in ([-1,1])
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस मानक अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this standard interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में होता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this interval.
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the onto interval of \(\tan x\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=2\cos x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-2,2]\), (f(x)=2\cos x), what is the correct statement about (f)?
#cosine function
#onto
#scaled range
#trigonometry
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह केवल (0) मान देता है / It gives only (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\cos x\) का परास ([-2,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of \(2\cos x\) becomes ([-2,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
गुणा करने से त्रिकोणमितीय परास उसी अनुपात में फैलता है। / Multiplication scales the trigonometric range accordingly.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। / The codomain (B) has elements (p,q,r).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। / All three appear among the given images.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c,d\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b)\}\), why is (f) not onto?
#finite mapping
#not onto
#missing preimage
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
B क्योंकि (a) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (a) has no preimage
C क्योंकि (b) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (b) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (d) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (d) has no preimage
Step 1
Concept
दिए गए प्रतिबिंबों में (a,b,c) आते हैं। / The listed images include (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का (d) किसी भी प्रांत अवयव से प्राप्त नहीं होता। / The codomain element (d) is not obtained from any domain element.
Step 3
Exam Tip
एक भी सहप्रांत अवयव छूट जाए, तो फलन आच्छादी नहीं है। / If even one codomain element is missed, the function is not onto.
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यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements and (B) has (2) elements, how many onto functions are there from (A) to (B)?
#onto counting
#finite sets
#two element codomain
#functions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(14\)
B \(16\)
C \(8\)
D \(2\)
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Step 1
Concept
कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। / The total number of functions is \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले (2) फलन हैं, जिनमें सभी अवयव (B) के एक ही अवयव पर जाते हैं। / There are (2) non-onto functions, where all elements go to only one element of (B).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence the number of onto functions is (16-2=14).
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यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी है?
If (A) has (3) elements and (B) has (3) elements, how many onto functions are there from (A) to (B)?
#onto counting
#bijection
#finite sets
#permutation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(6\)
B \(9\)
C \(27\)
D \(3\)
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Step 1
Concept
समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। / For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। / This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
(|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है। / When (|A|=|B|), an onto function is also bijective.
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यदि (A) में (2) अवयव और (B) में (5) अवयव हैं, तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या होगी?
If (A) has (2) elements and (B) has (5) elements, what is the number of onto functions from (A) to (B)?
#onto function
#counting
#cardinality
#finite sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(0\)
B \(10\)
C \(25\)
D \(5\)
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Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (2) प्रांत अवयव (5) सहप्रांत अवयवों को नहीं ढक सकते। / Only (2) domain elements cannot cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
(|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या तुरंत (0) होती है। / If (|A|<|B|), the number of onto functions is immediately (0).
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और \(B=\{2,4,6,8\}\), तो (f(A)) क्या होगा?
If \(f:A\to B\) is onto and \(B=\{2,4,6,8\}\), what is (f(A))?
#onto definition
#image set
#range
#codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({2,4,6,8}\)
B \({2,4}\)
C \(\varnothing\)
D \(A\)
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Correct Answer
A. \({2,4,6,8}\)
Step 1
Concept
(f(A)) फलन का परास है। / (f(A)) is the range of the function.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी होने पर परास सहप्रांत के बराबर होता है। / If a function is onto, its range equals its codomain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f(A)=B={2,4,6,8})। / Hence (f(A)=B={2,4,6,8}).
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), choose the correct option.
#bounded function
#onto
#open interval
#modulus
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह (-1) मान देता है / It gives value (-1)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
यह फलन हमेशा (-1) और (1) के बीच मान देता है। / This function always gives values between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
खुले अंतराल ((-1,1)) का हर मान किसी वास्तविक (x) से मिल जाता है। / Every value in the open interval ((-1,1)) is obtained for some real (x).
Step 3
Exam Tip
खुले सिरों पर (-1) और (1) पाने की जरूरत नहीं होती। / Since the endpoints are open, obtaining (-1) and (1) is not required.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}) है, तो (f) आच्छादी है क्योंकि किस पूर्वप्रतिबिंब से (y) मिलेगा?
If \(f:[1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=\sqrt{x-1}), then (f) is onto because which preimage gives (y)?
#square root
#onto
#preimage
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(x=y^2+1\)
B \(x=y+1\)
C \(x=\sqrt{y}+1\)
D \(x=y^2-1\)
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Correct Answer
A. \(x=y^2+1\)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई \(y\ge0\) लें। / Take any codomain value \(y\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=y^2+1\) रखने पर \(x\ge1\) और \(\sqrt{x-1}=y\) मिलता है। / If \(x=y^2+1\), then \(x\ge1\) and \(\sqrt{x-1}=y\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन में पूर्वप्रतिबिंब खोजने के लिए लक्ष्य मान का वर्ग करें। / For a square-root function, square the target value to find a preimage.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}), what is the correct statement?
#cube root
#onto
#real numbers
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल अऋणात्मक मान देता है / It gives only non-negative values
D यह (x<-8) पर परिभाषित नहीं है / It is not defined for (x<-8)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt[3]{x+8}), why is it not onto?
#cube root
#not onto
#restricted domain
#range
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (1) से छोटे मान नहीं मिलते / Because values less than (2) are not obtained
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) से छोटे मान नहीं मिलते / Because values less than (2) are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x+8\ge8\)। / Since \(x\ge0\), \(x+8\ge8\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt[3]{x+8}\ge2\), और (1) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलेगा। / Hence \(\sqrt[3]{x+8}\ge2\), so a real value like (1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
घनमूल होने पर भी सीमित प्रांत पर परास सीमित हो सकता है। / Even a cube-root function may have a restricted range if the domain is restricted.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor), what is the correct statement about (f)?
#floor function
#onto
#integers
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक पूर्णांक देता है / It gives only positive integers
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\lfloor x-3\rfloor), why is (f) not onto?
#floor function
#not onto
#integer valued
#real codomain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
B क्योंकि पूर्णांक मान नहीं मिलते / Because integer values are not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते / Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत को नहीं ढकता। / An integer-valued function does not cover the full real codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=\lceil 2x\rceil), choose the correct option.
#ceiling function
#onto
#integers
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल सम पूर्णांक देता है / It gives only even integers
D यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil 2x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है। / The linear expression inside the ceiling can produce all required integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) जब (x<2) और (f(x)=1) जब \(x\ge2\), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1}\), (f(x)=0) when (x<2) and (f(x)=1) when \(x\ge2\), what is correct about (f)?
#piecewise function
#onto
#two value codomain
#preimage
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=1) रखने पर (f(x)=0) मिलता है। / Taking (x=1) gives (f(x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=2) रखने पर (f(x)=1) मिलता है। / Taking (x=2) gives (f(x)=1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के दोनों मान प्राप्त हैं, इसलिए फलन आच्छादी है। / Both codomain values are obtained, so the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) जब (x<0), (f(x)=1) जब \(x\ge0\), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to{0,1,2}\), (f(x)=0) when (x<0), and (f(x)=1) when \(x\ge0\), why is (f) not onto?
#piecewise function
#not onto
#missing value
#codomain
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A क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
B क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (0) has no preimage
C क्योंकि (1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (1) has no preimage
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है / Because (2) has no preimage
Step 1
Concept
फलन केवल (0) और (1) मान देता है। / The function gives only values (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (2) है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं जिससे (f(x)=2)। / The codomain contains (2), but no (x) gives (f(x)=2).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में छूटा हुआ मान आच्छादीपन को समाप्त कर देता है। / A missed codomain value destroys onto nature.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 ), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#cube
#range
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A क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक नहीं मिलते / Because negative integers are not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। / \(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता। / On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }), what is the correct statement about (f)?
#square root
#modulus
#onto
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
D यह केवल (5) मान देता है / It gives only (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) है। / (\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|).
Step 2
Why this answer is correct
(|x+5|) का परास \([0,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। / The range of (|x+5|) is \([0,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{u^2}\) को मापांक के रूप में पहचानें। / Recognize \(\sqrt{u^2}\) as a modulus expression.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt{(x+5)2 }), why is it not onto?
#modulus
#not onto
#nonnegative range
#real codomain
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A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) हमेशा अऋणात्मक होता है। / (\sqrt{(x+5)2 }=|x+5|) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो फलन से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
अऋणात्मक परास वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी नहीं मानें। / A function with a non-negative range is not onto the whole \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x+1) है, तो (f) के आच्छादी होने का उचित कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +x+1), what is a valid reason that (f) is onto?
#cubic polynomial
#onto
#continuity
#intermediate value
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? Hint Small clue
A यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है / It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
B यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह सहप्रांत से बाहर मान देता है / It gives values outside the codomain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है / It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x+1\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3+x+1\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
मध्य मान विचार से यह हर वास्तविक मान प्राप्त करता है। / By the intermediate value idea, it obtains every real value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-6 +2) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[2,\infty\)), (f(x)=x-6 +2), what is the correct statement?
#even power
#onto
#range
#codomain
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^6\ge0\), इसलिए \(x^6+2\ge2\)। / \(x^6\ge0\), so \(x^6+2\ge2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt[6]{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge2\), take \(x=\sqrt[6]{y-2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन अपने सही खिसके हुए सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / An even-power function is onto its correctly shifted codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +2) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-6 +2), why is (f) not onto?
#even power
#not onto
#minimum value
#codomain
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? Hint Small clue
A क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (0) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like (0) is not obtained
Step 1
Concept
\(x^6+2\) का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of \(x^6+2\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) इसे नहीं दे सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but no real (x) can give it.
Step 3
Exam Tip
सम घात बहुपदों में न्यूनतम मान से नीचे के सहप्रांत मान छूट जाते हैं। / For even-power polynomials, codomain values below the minimum are missed.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}), what is the correct statement about (f)?
#exponential function
#modulus
#onto
#range
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (0) मान देता है / It gives value (0)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। / \(|x|\ge0\), so \(e^{|x|}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। / For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं। / A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)).
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If (f:\mathbb{R}\to\(1,\infty\)), (f(x)=e^{|x|}), why is (f) not onto?
#well defined
#exponential function
#codomain
#onto concept
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? Hint Small clue
A क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है / Because it also gives value (1), which is outside the codomain
B क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है / Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। / But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं। / Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}), why is (f) not onto?
#rational function
#not onto
#endpoint
#range
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A क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
B क्योंकि (-1) नहीं मिलता / Because (-1) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2-1}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\) है। / \(\frac{x^2-1}{x^2+1}=1-\frac{2}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह मान (1) से हमेशा छोटा रहता है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता। / This value is always less than (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में सीमा के सिरों की जांच बहुत जरूरी है। / For rational functions, checking endpoint values is very important.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-1,1\)), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-1,1\)), (f(x)=\frac{x-2 -1}{x-2 +1}), what is the correct statement?
#rational function
#onto
#range
#endpoint
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह (-2) मान देता है / It gives value (-2)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x=0) पर मान (-1) मिलता है। / At (x=0), the value (-1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। / As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं। / Approaching a boundary and attaining it are different ideas.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है और \(g:B\to C\) आच्छादी है, तो \(g\circ f:A\to C\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If \(f:A\to B\) is onto and \(g:B\to C\) is onto, what can be said about \(g\circ f:A\to C\)?
#composition of functions
#onto
#surjective
#proof
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? Hint Small clue
A यह आच्छादी होगा / It will be onto
B यह कभी आच्छादी नहीं होगा / It will never be onto
C यह हमेशा स्थिर होगा / It will always be constant
D यह फलन नहीं बनेगा / It will not be a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी होगा / It will be onto
Step 1
Concept
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any element (c) of (C).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Therefore (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.
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यदि \(g\circ f:A\to C\) आच्छादी है, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष हमेशा सही है?
If \(g\circ f:A\to C\) is onto, which of the following conclusions is always true?
#composition
#onto function
#surjective
#conceptual
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A \(g\) आच्छादी है / (g) is onto
B \(f\) आच्छादी है / (f) is onto
C दोनों एकैकी हैं / Both are one-one
D \(f\) स्थिर है / (f) is constant
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Correct Answer
A. \(g\) आच्छादी है / (g) is onto
Step 1
Concept
(C) का कोई भी (c) लें। / Take any \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। यहां \(f(a)\in B\), इसलिए (c) का पूर्वप्रतिबिंब (g) के अंतर्गत मौजूद है। / Since \(g\circ f\) is onto, there is some \(a\in A\) such that (g(f(a))=c). Here \(f(a)\in B\), so (c) has a preimage under (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना जरूरी है। / Hence (g) must be onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), (f(x)=\tan^{-1}x) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), (f(x)=\tan^{-1}x), what is the correct statement about (f)?
#inverse trigonometry
#onto function
#range
#codomain
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A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) होता है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y) को इस अंतराल में लें, तो \(x=\tan y\) रखने पर (f(x)=y) मिलता है। / For any (y) in this interval, take \(x=\tan y\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक परास याद रखें। / Remember the standard ranges of inverse trigonometric functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), (f(x)=\tan^{-1}x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), (f(x)=\tan^{-1}x), why is (f) not onto?
#inverse trigonometry
#not onto
#endpoints
#codomain
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A क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते / Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते / Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) के आच्छादी होने के लिए \(y\ge0\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या हो सकता है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x), what can be a preimage of \(y\ge0\) to show that (f) is onto?
#quadratic function
#onto
#preimage
#restricted domain
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A \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
B \(x=1+\sqrt{y+1}\)
C \(x=\sqrt{y}-2\)
D \(x=y^2+2\)
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Correct Answer
A. \(x=-1+\sqrt{y+1}\)
Step 1
Concept
\(x^2+2x=y\) को ((x+1)2 =y+1) लिखें। / Write \(x^2+2x=y\) as ((x+1)2 =y+1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=-1+\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge0\) रहता है और फलन मान (y) बनता है। / Taking \(x=-1+\sqrt{y+1}\) keeps \(x\ge0\) and gives function value (y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात रूप में पूर्ण वर्ग बनाकर पूर्वप्रतिबिंब निकालें। / Complete the square to find a preimage in quadratic forms.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 +2x), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#restricted domain
#range
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? Hint Small clue
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
D क्योंकि सभी वास्तविक मान मिलते हैं / Because all real values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। / When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है। / When the domain is restricted, the range can also be restricted.
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