Restricting the square function to the non-negative branch can make it bijective. चरण 1: ([0,2]) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसका परिसर ([0,4]) है, जो सहप्रांत से मेल खाता है। चरण 3: वर्ग फलन को धनात्मक भाग पर सीमित करने से वह द्वयात्मक बन सकता है।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: \(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) is never (0), and (0) is excluded from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ne0\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, solve for (x) in terms of (y). चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता और प्रांत में (0) नहीं है। चरण 2: किसी भी \(y\ne0\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (y) से (x) निकालकर जाँचें।
For finite sets with equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence such functions are bijections, counted by (4!).
Step 3
Exam Tip
(4!=24); for equal finite sizes, onto counting becomes permutation counting. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन अपने आप एकैकी भी होगा। चरण 2: इसलिए ऐसे फलन द्वयात्मक हैं और उनकी संख्या (4!) है। चरण 3: (4!=24), समान आकार पर आच्छादी गिनती में क्रमचय याद रखें।
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। चरण 3: घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी।
A. यह सर्वाच्छादक और एकैकी दोनों है/It is both onto and one-one
Step 1
Concept
For every \(y\in[0,1]\), \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
On ([0,1]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same formula one-one. चरण 1: हर \(y\in[0,1]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[0,1]\), इसलिए फलन सर्वाच्छादक है। चरण 2: ([0,1]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग छवि देते हैं। चरण 3: प्रांत छोटा करने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है।
For finite sets of equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
So it is a permutation of (4) elements, giving (4!) functions.
Step 3
Exam Tip
When domain and codomain have equal size, onto and one-one go together. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादक फलन अपने-आप एकैकी भी होता है। चरण 2: इसलिए यह (4) अवयवों का क्रमविन्यास है, जिसकी संख्या (4!) है। चरण 3: जब प्रांत और सहप्रांत का आकार बराबर हो, सर्वाच्छादकता और एकैकता साथ आती हैं।
For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), an onto function is also bijective. चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। चरण 2: यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। चरण 3: (|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है।
Since the function is one-one, the (7) elements of (A) have (7) distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(B) also has exactly (7) elements, so all elements of (B) are covered.
Step 3
Exam Tip
For finite sets of equal size, a one-one function is also onto. चरण 1: एकैकी होने से (A) के (7) अवयवों के (7) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 2: (B) में भी कुल (7) अवयव हैं, इसलिए सभी अवयव छवि में आ जाएंगे। चरण 3: समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन आच्छादी भी होता है।
For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!). चरण 1: समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। चरण 2: (4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। चरण 3: जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है।
For a one-one function all (4) elements of (B) are arranged distinctly, so the number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
Between finite sets of equal size a one-one function is also onto. चरण 1: दोनों समुच्चयों में (4) तत्व हैं। चरण 2: एक-एक फलन के लिए (B) के सभी (4) तत्व अलग-अलग ढंग से लगेंगे, इसलिए संख्या (4!=24) है। चरण 3: बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन साथ ही आच्छादक भी होता है।
For finite sets of equal size, a one-one function gives a complete arrangement of images.
Step 2
Why this answer is correct
The number is \(4!=4\times3\times2\times1=24\).
Step 3
Exam Tip
When (|A|=|B|), a one-one function is also onto. चरण 1: बराबर आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन छवियों का पूर्ण विन्यास देता है। चरण 2: संख्या \(4!=4\times3\times2\times1=24\) है। चरण 3: जब (|A|=|B|) हो, एकैकी फलन आच्छादी भी हो जाता है।
The total number is \(3\cdot2\cdot1=6\). चरण 1: पहले तत्व के लिए (3) चुनाव हैं। चरण 2: फिर (2) और फिर (1) चुनाव बचता है। चरण 3: कुल संख्या \(3\cdot2\cdot1=6\) है।
A. फलन एकैकी और आच्छादी है/The function is one-one and onto
Step 1
Concept
The function \(x^5+x^3+x\) is strictly increasing because its derivative \(5x^4+3x^2+1\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
For very large negative (x), the value becomes very negative, and for very large positive (x), the value becomes very positive, so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
For increasing odd-power polynomials, check both one-one and onto carefully. चरण 1: \(x^5+x^3+x\) में (x) बढ़ने पर फलन लगातार बढ़ता है क्योंकि इसकी ढाल \(5x^4+3x^2+1\) हमेशा धनात्मक रहती है। चरण 2: बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक हो जाता है, इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। चरण 3: विषम घातों वाले बढ़ते बहुपद में एकैकीपन और आच्छादीपन दोनों ध्यान से जाँचें।
For an inverse function, every output must correspond back to exactly one input.
Step 2
Why this answer is correct
One-one prevents multiple inputs, and onto ensures every codomain element is covered.
Step 3
Exam Tip
Hence being bijective is necessary and sufficient for an inverse function. चरण 1: व्युत्क्रम के लिए हर निर्गत से ठीक एक आगत वापस मिलना चाहिए। चरण 2: एकैकीपन एक से अधिक आगतों को रोकता है और आच्छादीपन हर सहप्रांत तत्व को कवर करता है। चरण 3: इसलिए व्युत्क्रम फलन के लिए द्वैकीय होना आवश्यक और पर्याप्त है।
Adding (1) to different rational numbers gives different rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For any rational (y), (x=y-1) is also rational, so every (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers are closed under addition and subtraction. चरण 1: अलग परिमेय संख्याओं में (1) जोड़ने पर अलग परिमेय संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: किसी भी परिमेय (y) के लिए (x=y-1) भी परिमेय है इसलिए हर (y) मिल जाता है। चरण 3: परिमेय संख्याओं में जोड़ और घटाव बंद रहते हैं।
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं/Bijective but not identity
Step 1
Concept
Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
Since (1) does not map to (1), it is not the identity function. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। चरण 3: क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है।
For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
A bijection uses every image exactly once. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। चरण 2: संख्या (4!=24) होगी। चरण 3: द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है।
For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective. चरण 1: (x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। चरण 3: अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए।
The cubic expression ((x-2)3) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) लिखा जा सकता है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें।
The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\). चरण 1: यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है।
If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
Adding a fixed integer gives a bijection on integers. चरण 1: यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
On this interval, it takes all values from (1) to (-1).
Step 3
Exam Tip
Hence it is also onto the codomain ([-1,1]). चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल पर यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। चरण 3: इसलिए यह दिए गए सहप्रांत ([-1,1]) पर आच्छादक भी है।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range on this interval is exactly ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same function bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल में इसका परास ठीक ([-1,1]) है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से वही फलन द्वैक बन सकता है।
For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Since (3!=6), there are (6) bijective functions. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। चरण 2: (3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। चरण 3: (3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे।
A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\). चरण 1: यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। चरण 3: इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए।
\(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real value is attained and the function is bijective. चरण 1: \(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है।
\(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
The logarithmic function is the inverse of the exponential function. चरण 1: \(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है।
Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective. चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है।
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है/Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: (5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है।
