Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। / For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
\(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है। / The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective.
(x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) है। / (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9).
Step 2
Why this answer is correct
घन फलन ((x-2)3) पूरे \(\mathbb{R}\) पर सख्ती से बढ़ता और सभी वास्तविक मान लेता है। / The cubic ((x-2)3) is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) and takes all real values.
Step 3
Exam Tip
स्थानांतरण से द्विआधारिता नहीं बदलती। / Shifting does not change bijectivity.
द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। / For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे। / Hence (B) also has (6) elements.
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में (-1) से (1) तक सभी मान मिलते हैं। / It attains every value from (-1) to (1).
Step 3
Exam Tip
उचित प्रांत और सहप्रांत लेने से त्रिकोणमितीय फलन द्विआधारी बन सकता है। / With a suitable domain and codomain, a trigonometric function can be bijective.
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2) होता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। / Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है। / Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective.
\(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / \(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है। / A strictly increasing function covering all real values is bijective.
\(g\circ f\) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। / In \(g\circ f\), (f) acts first and then (g).
Step 2
Why this answer is correct
वापस आने के लिए पहले \(g^{-1}\) और फिर \(f^{-1}\) लगाना पड़ेगा। / To reverse the process, apply \(g^{-1}\) first and then \(f^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है। / Hence the order reverses, so (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}).
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है। / For every \(y\geq 0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत को सीमित करने से वही सूत्र एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can make the same formula one-one.
C. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^5+x^3+x\) बढ़ते (x) के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(x^5+x^3+x\) keeps increasing with (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक होता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / For very negative (x), values are very negative, and for very positive (x), values are very positive, so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
विषम घातों वाले बढ़ते बहुपदों में परास \(\mathbb{R}\) हो सकता है। / Increasing odd-degree polynomial functions often have range \(\mathbb{R}\).
दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).
(A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। / The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है। / On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective.
\(e^x\) वास्तविक रेखा पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका हर मान धनात्मक होता है और हर धनात्मक संख्या \(e^x\) के रूप में मिल सकती है। / Its values are positive, and every positive number can be written as \(e^x\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने से यह द्विआधारी बनता है। / With codomain (\(0,\infty\)), it becomes bijective.
\(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है। / An increasing function covering all real values is bijective.
समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी और आच्छादी फलन क्रमचय होते हैं। / For finite sets of equal size, functions that are one-one and onto are permutations.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों के क्रमचय (4!=24) होते हैं। / The number of permutations of (4) elements is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीधे (n!) प्रयोग करें। / Use (n!) directly in such bijection counting questions.
