Each element of (A) must choose exactly one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, the number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
Remember that the number of functions from (A) to (B) is \(|B|^{|A|}\). चरण 1: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में कोई एक प्रतिबिंब चुनना होता है। चरण 2: (A) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं, इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि (A) से (B) तक फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}\) होती है।
In a one-one function, distinct elements must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (4) elements but (B) has only (3) elements, so (4) distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
First compare the sizes of domain and codomain in such questions. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। चरण 2: यहाँ (A) में (4) अवयव हैं लेकिन (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए (4) अलग प्रतिबिंब नहीं मिल सकते। चरण 3: परीक्षा में पहले प्रांत और सहप्रांत के अवयवों की संख्या की तुलना करें।
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
Always test one-one and onto separately. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें।
Replace (y) by (x), so (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}). चरण 1: मान लें (y=3x-5)। चरण 2: (x) को (y) के पदों में लिखने पर \(x=\frac{y+5}{3}\) मिलता है। चरण 3: अंत में (y) की जगह (x) रखने से (f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}) होगा।
The function \(x^3\) is strictly increasing on real numbers, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) exists, so every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
The cube function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: \(x^3\) हर वास्तविक (x) पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) मौजूद है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: घन फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर द्वैक होता है।
B. यह आच्छादक है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \([0,\infty\)), and for every \(y\ge 0\), \(x=\sqrt{y}\) exists.
Step 3
Exam Tip
Onto property depends on the codomain, so always check it carefully. चरण 1: (f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: सहप्रांत \([0,\infty\)) है और हर \(y\ge 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत बदलने से आच्छादकता बदल सकती है, इसलिए सहप्रांत अवश्य देखें।
(|x|) is never negative, so negative real numbers are not attained.
Step 3
Exam Tip
In absolute value functions, opposite inputs may give the same output. चरण 1: (f(3)=3) और (f(-3)=3), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं बन सकती। चरण 3: परिमाप वाले फलन में संकेत बदलने पर समान मान मिल सकता है।
For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore (|B|=|A|=7). चरण 1: द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। चरण 3: इसलिए (|B|=|A|=7) होगा।
Put (f(x)=2x+1) into (g), giving (g(2x+1)=(2x+1)2).
Step 3
Exam Tip
Expanding gives \(4x^2+4x+1\). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। चरण 2: (f(x)=2x+1) को (g) में रखने पर (g(2x+1)=(2x+1)2) मिलेगा। चरण 3: विस्तार करने पर \(4x^2+4x+1\) प्राप्त होता है।
The difference is (3x+1-(3x+5)=-4), so order matters in composition. चरण 1: (f(g(x))=f(3x-1)=3x+1)। चरण 2: (g(f(x))=g(x+2)=3x+5)। चरण 3: अंतर (3x+1-(3x+5)=-4) है, इसलिए क्रम बदलने से मान बदल सकता है।
Hence the range is \([3,\infty\)). चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3)। चरण 2: ((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: ऊपर की ओर खुलने वाले वर्ग फलन का परास न्यूनतम मान से अनंत तक होता है।
C. एकैकी और आच्छादक दोनों है/Both one-one and onto
Step 1
Concept
(5-2x) is a linear function with non-zero slope, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), \(x=\frac{5-y}{2}\) is real, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
A non-constant linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is bijective. चरण 1: (5-2x) एक रैखिक फलन है जिसकी ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{5-y}{2}\) वास्तविक है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर अशून्य ढाल वाला रैखिक फलन द्वैक होता है।
In a constant function, every input has the same image (c).
Step 2
Why this answer is correct
Different inputs give the same output, so the one-one condition fails.
Step 3
Exam Tip
A constant function on an infinite domain is never one-one. चरण 1: स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब (c) ही होता है। चरण 2: अलग-अलग आगतों के समान प्रतिबिंब मिलते हैं, इसलिए एकैकी होने की शर्त टूट जाती है। चरण 3: अनंत प्रांत पर स्थिर फलन कभी एकैकी नहीं होता।
Its values are positive, and for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
With codomain (\(0,\infty\)), the function is bijective. चरण 1: \(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: इसका हर मान धनात्मक होता है और प्रत्येक (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मौजूद है। चरण 3: सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने पर यह द्वैक हो जाता है।
\(\ln x\) is strictly increasing on (\(0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=e^y>0\), so it is onto.
Step 3
Exam Tip
The logarithmic function is the inverse of the exponential function. चरण 1: \(\ln x\) अपने प्रांत (\(0,\infty\)) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, इसलिए यह आच्छादक है। चरण 3: लघुगणकीय फलन घातीय फलन का प्रतिलोम होता है।
\(x^3+x\) is strictly increasing because its value keeps increasing with (x).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real value is attained and the function is bijective. चरण 1: \(x^3+x\) सख्ती से बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक मान मिलता है और फलन द्वैक है।
Since (f) is one-one, distinct elements of (A) have distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Since (g) is also one-one, those distinct images remain distinct in (C).
Step 3
Exam Tip
The composition of one-one functions is one-one. चरण 1: (f) एकैकी है, इसलिए अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब (B) में अलग होंगे। चरण 2: (g) भी एकैकी है, इसलिए उन अलग प्रतिबिंबों के आगे के प्रतिबिंब (C) में अलग रहेंगे। चरण 3: एकैकी फलनों का संयोजन एकैकी होता है।
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) and (f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x^4\ge 0\), negative real values are not attained.
Step 3
Exam Tip
For even power functions, check both repeated outputs and restricted range. चरण 1: (f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^4\ge 0\), इसलिए ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते। चरण 3: सम घात वाले फलनों में अक्सर समान प्रतिबिंब और सीमित परास दोनों बातों पर ध्यान दें।
The domain is \([0,\infty\)), so (x) cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^2\), we get \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
\(-\sqrt{y}\) is not allowed because the domain has no negative numbers. चरण 1: प्रांत \([0,\infty\)) है, इसलिए (x) ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: \(y=x^2\) से \(x=\sqrt{y}\) मिलेगा। चरण 3: यहाँ \(-\sqrt{y}\) नहीं लिया जाएगा क्योंकि प्रांत में ऋणात्मक संख्या नहीं है।
Such a function behaves like its own inverse. चरण 1: (f(x)=\frac{1}{x}) है। चरण 2: (f(f(x))=f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। चरण 3: ऐसा फलन अपने ही प्रतिलोम जैसा व्यवहार करता है।
A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\). चरण 1: यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। चरण 3: इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए।
Completing the square quickly gives range and minimum value. चरण 1: (x-2+2x+2=(x+1)2+1)। चरण 2: ((x+1)2\ge 0), इसलिए सबसे छोटा मान (1) है। चरण 3: वर्ग पूर्ण करने से परास और न्यूनतम मान जल्दी मिलते हैं।
Since \(x^2+1\ge 1\), and for every \(y\ge 1\), \(x=\sqrt{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain correctly is the key. चरण 1: (f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(x^2+1\ge 1\) और हर \(y\ge 1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत को सही पढ़ना इस प्रश्न की मुख्य बात है।
The image of (2) must be different, so (2) choices remain.
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(3\times2=6\). चरण 1: (1) का प्रतिबिंब चुनने के (3) तरीके हैं। चरण 2: (2) का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए, इसलिए (2) तरीके बचते हैं। चरण 3: कुल एकैकी फलन \(3\times2=6\) होंगे।
For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Since (3!=6), there are (6) bijective functions. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। चरण 2: (3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। चरण 3: (3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे।
D. यह न एकैकी न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For trigonometric functions, check periodicity and range. चरण 1: \(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह पूरी \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जाँचें।
On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range on this interval is exactly ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the same function bijective. चरण 1: दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल में इसका परास ठीक ([-1,1]) है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से वही फलन द्वैक बन सकता है।
\(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The range of \(\cos x\) is ([-1,1]), so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
If codomain is \(\mathbb{R}\), a bounded range function is not onto. चरण 1: \(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। चरण 2: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक नहीं है। चरण 3: सहप्रांत यदि \(\mathbb{R}\) हो तो सीमित परास वाले फलन आच्छादक नहीं होंगे।
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
On this interval, it takes all values from (1) to (-1).
Step 3
Exam Tip
Hence it is also onto the codomain ([-1,1]). चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) सख्ती से घटता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: इस अंतराल पर यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। चरण 3: इसलिए यह दिए गए सहप्रांत ([-1,1]) पर आच्छादक भी है।
In inverse function questions, translate the statement into the original function. चरण 1: (f^{-1}(k)=4) का अर्थ है (f(4)=k)। चरण 2: (f(4)=2\cdot4+3=11)। चरण 3: प्रतिलोम वाले प्रश्नों में कथन को मूल फलन की भाषा में बदलें।
In composition, always evaluate the inner function first. चरण 1: पहले (g(2)=2+1=3) निकालें। चरण 2: अब (f(g(2))=f(3)=32-1=8)। चरण 3: संयोजन में हमेशा भीतर वाले फलन को पहले हल करें।
Therefore the range is \([1,\infty\)). चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: ((x-3)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। चरण 3: अतः परास \([1,\infty\)) होगा।
\(\lfloor 1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is only the integers, not all real numbers.
Step 3
Exam Tip
For the greatest integer function, check the range carefully. चरण 1: \(\lfloor 1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। चरण 2: इसका परास केवल पूर्णांक हैं, सभी वास्तविक संख्याएँ नहीं। चरण 3: महानतम पूर्णांक फलन में परास को ध्यान से देखें।
If \(n_1+5=n_2+5\), then \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(m\in\mathbb{Z}\), \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), so every (m) is attained.
Step 3
Exam Tip
Adding a fixed integer gives a bijection on integers. चरण 1: यदि \(n_1+5=n_2+5\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए यह एकैकी है। चरण 2: किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए \(n=m-5\in\mathbb{Z}\), इसलिए हर (m) मिल जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर नियत जोड़ वाला फलन द्वैक होता है।
From \(2n_1=2n_2\), we get \(n_1=n_2\), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
But odd integers like (1) are not of the form (2n).
Step 3
Exam Tip
On integers, (2n) produces only even integers. चरण 1: \(2n_1=2n_2\) से \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। चरण 2: लेकिन विषम पूर्णांक जैसे (1) किसी (2n) के रूप में नहीं मिलते। चरण 3: पूर्णांकों पर (2n) केवल सम पूर्णांक देता है।
(n+1) gives different values for different (n), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (1) is not of the form (n+1).
Step 3
Exam Tip
On natural numbers, always check the first element of the codomain. चरण 1: (n+1) अलग (n) के लिए अलग मान देता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (1) किसी (n+1) के रूप में नहीं मिलेगा। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर आरंभिक अवयव की जाँच जरूर करें।
C. नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं/No because different inputs can give the same image
Step 1
Concept
(f(0)=0) and (f(-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
Two different inputs (0) and (-2) have the same image.
Step 3
Exam Tip
To disprove one-one property, one counterexample is enough. चरण 1: (f(0)=0) और (f(-2)=0) मिलते हैं। चरण 2: दो अलग आगतों (0) और (-2) का प्रतिबिंब समान है। चरण 3: एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही मान देने वाले दो अलग आगत दिखाना पर्याप्त है।
The smallest value occurs when (|x-2|=0), that is (x=2), giving minimum (3).
Step 3
Exam Tip
The range of this absolute value function starts from its minimum value. चरण 1: \(|x-2|\ge 0\) होता है। चरण 2: सबसे छोटा मान तब मिलेगा जब (|x-2|=0), अर्थात (x=2), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। चरण 3: परिमाप वाले फलन का परास उसके न्यूनतम मान से आगे जाता है।
Substitute (g(x)=x-1) into (f), giving (f(x-1)=|x-1|).
Step 3
Exam Tip
Keep the entire inner expression inside the absolute value. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। चरण 2: (g(x)=x-1) को (f) में रखने पर (f(x-1)=|x-1|) मिलेगा। चरण 3: परिमाप में पूरा भीतरी व्यंजक रखना चाहिए।
Two distinct inputs have the same image, so the function is not one-one. चरण 1: (f(0)=03-3\cdot0=0)। चरण 2: (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। चरण 3: दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल गया, इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
In an onto function, every element of (B) is the image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(A)=B).
Step 3
Exam Tip
Hence (f(A)) has (5) elements. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव (A) के किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है। चरण 2: इसलिए (f(A)=B) होता है। चरण 3: अतः (f(A)) में भी (5) अवयव होंगे।
In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f(A)) has (6) elements. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। चरण 2: (A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 3: अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे।
B. क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because (-2) is not an image
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
A value like (-2) is less than (-1), so it can never be attained.
Step 3
Exam Tip
To disprove onto property, one missing codomain element is enough. चरण 1: \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। चरण 2: (-2) जैसा मान (-1) से छोटा है, इसलिए वह कभी नहीं मिल सकता। चरण 3: आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है।
For (x>0), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
For (x<0), the value is \(\frac{x}{1-x}\), which lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
The values (1) and (-1) are approached but not attained, so the range is ((-1,1)). चरण 1: (x>0) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) के बीच रहता है। चरण 2: (x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। चरण 3: मान (1) और (-1) तक पहुँचते नहीं, इसलिए परास ((-1,1)) है।
The function is strictly increasing because the odd power terms along with (x) increase consistently.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the function goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Hence it is both one-one and onto on \(\mathbb{R}\). चरण 1: यह फलन सख्ती से बढ़ता है क्योंकि उच्च विषम घातों के साथ (x) का प्रभाव लगातार बढ़ता है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर फलन \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: इसलिए यह एकैकी भी है और \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक भी है।
For (x<0), values lie in (\(-\infty,-1\)), and for \(x\ge0\), values lie in \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The two parts do not overlap, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
But values in ((-1,1)) are missing, so it is not onto. चरण 1: (x<0) पर मान (\(-\infty,-1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर मान \([1,\infty\)) में आते हैं। चरण 2: दोनों भागों के मान आपस में नहीं मिलते, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: लेकिन ((-1,1)) के मान नहीं मिलते, इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
The cubic expression ((x-2)3) is strictly increasing, so distinct inputs give distinct outputs and every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, convert such polynomials into shifted cubic form to identify one-one and onto properties quickly. चरण 1: (x-3-6x-2+12x+1=(x-2)3+9) लिखा जा सकता है। चरण 2: घन फलन ((x-2)3) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान मिलते हैं और हर वास्तविक मान प्राप्त होता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसे बहुपद को पहले घन रूप में बदलकर एकैकी और आच्छादकता जल्दी पहचानें।
For (x<0), (2x+1) gives values in (\(-\infty,1\)), and for \(x\ge0\), \(x^2+1\) gives values in \([1,\infty\)), so the range is all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
Both parts are increasing on their domains, and their ranges do not overlap, so different inputs cannot have the same output.
Step 3
Exam Tip
Hence the function is both one-one and onto, so it is bijective. चरण 1: (x<0) पर (2x+1) के मान (\(-\infty,1\)) में आते हैं और \(x\ge0\) पर \(x^2+1\) के मान \([1,\infty\)) में आते हैं, इसलिए परास पूरी \(\mathbb{R}\) है। चरण 2: लेकिन (f(0)=1) और (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0) अलग मान हैं, इसलिए एकैकी जाँच के लिए बेहतर उदाहरण लें: (f\left\(-\frac{1}{4}\right\)=\frac{1}{2}) और यह मान दूसरे भाग से नहीं आता; फिर भी पहले भाग सख्ती से बढ़ता है और दूसरे भाग भी सख्ती से बढ़ता है तथा दोनों परास अलग हैं। चरण 3: अतः यह वास्तव में एकैकी और आच्छादक दोनों है, इसलिए सही निष्कर्ष द्वैक होना चाहिए।
