A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैं/No because the domain has fewer elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare the number of elements. चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें।
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। चरण 3: परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता।
In an onto function, every element of (B) needs at least one element from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (A) cannot have fewer elements than (B).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, (n(A)\ge n(B)) is a necessary condition for onto. चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर तत्व को (A) से कम से कम एक तत्व चाहिए। चरण 2: इसलिए (A) में तत्वों की संख्या (B) से कम नहीं हो सकती। चरण 3: सीमित समुच्चयों में (n(A)\ge n(B)) आच्छादी की जरूरी शर्त है।
In an onto function, every codomain element needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
With (3) domain elements, it is impossible to cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादक फलन में सहक्षेत्र के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (3) प्रांत सदस्यों से (5) सहक्षेत्र सदस्यों को ढकना असंभव है। चरण 3: यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलनों की संख्या (0) होती है।
In an onto function, every codomain element needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
Only (2) domain elements cannot cover (5) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is immediately (0). चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: केवल (2) प्रांत अवयव (5) सहप्रांत अवयवों को नहीं ढक सकते। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या तुरंत (0) होती है।
In an onto function, every element of (B) needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (4) elements while (B) has (6), so covering all elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (4) अवयव हैं, जबकि (B) में (6) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: (|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है।
A. आच्छादी फलन बन सकता है/An onto function can exist
Step 1
Concept
For onto functions between finite sets, the domain should not have fewer elements than the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge2\), so it is possible to cover all codomain elements.
Step 3
Exam Tip
When possibility is asked, first compare the sizes. चरण 1: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं होने चाहिए। चरण 2: यहां \(5\ge2\), इसलिए सभी सहप्रांत अवयवों को ढकना संभव है। चरण 3: संभावना पूछी जाए तो पहले आकारों की तुलना करें।
If a function is onto, every codomain element is reached by at least one domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the domain cannot have fewer elements than the codomain.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, this is a necessary condition. चरण 1: आच्छादी होने पर सहप्रांत के हर अवयव तक कम से कम एक प्रांत अवयव पहुंचता है। चरण 2: इसलिए प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव नहीं हो सकते। चरण 3: सीमित समुच्चयों में यह एक जरूरी शर्त है।
A. नहीं, क्योंकि सहप्रांत में अधिक अवयव हैं/No, because the codomain has more elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements while (B) has (5), so covering all elements of (B) is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, onto requires \(|A|\ge|B|\). चरण 1: आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) अवयव हैं और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge|B|\) जरूरी है।
In a one-one function, every distinct element of (A) has a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (n) elements of (A) produce (n) distinct elements in (f(A)).
Step 3
Exam Tip
A one-one function preserves the size of the image set equal to the domain size. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के हर अलग अवयव का प्रतिबिंब अलग होता है। चरण 2: इसलिए (A) के (n) अवयवों से (f(A)) में भी (n) अलग प्रतिबिंब बनेंगे। चरण 3: एकैकी फलन छवि-समुच्चय का आकार प्रांत के आकार के बराबर रखता है।
In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (5) elements, (B) must have at least (5) possible distinct outputs.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the codomain size cannot be smaller than the domain size for a one-one function. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग तत्वों के निर्गत अलग होने चाहिए। चरण 2: (A) में (5) तत्व हैं, इसलिए (B) में कम से कम (5) अलग निर्गतों की जगह चाहिए। चरण 3: सीमित समुच्चय में एकैकी के लिए सहक्षेत्र का आकार परिभाषा-क्षेत्र से कम नहीं हो सकता।
A one-one function needs (5) distinct images for the (5) elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (B) must have at least (5) elements.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the codomain cannot be smaller than the domain for a one-one function. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के (5) तत्वों के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: इसलिए (B) में कम से कम (5) तत्व होने जरूरी हैं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन के लिए सहप्रांत छोटा नहीं हो सकता।
The codomain has (5) elements, so choosing (3) distinct images is possible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, compare the number of elements first. चरण 1: एकैकी फलन के लिए (3) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: सहप्रांत में (5) तत्व हैं इसलिए (3) अलग प्रतिबिंब चुनना संभव है। चरण 3: सीमित समुच्चय में पहले तत्वों की संख्या की तुलना करें।
A one-one function needs a distinct image for each domain element.
Step 2
Why this answer is correct
Here (5) distinct images are needed, but the codomain has only (3) elements.
Step 3
Exam Tip
For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain. चरण 1: एकैकी फलन में प्रांत के हर तत्व को अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: यहाँ (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए लेकिन सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। चरण 3: एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम प्रांत जितने तत्व होने चाहिए।
A. एकैकी फलन संभव नहीं पर आच्छादी फलन संभव है/One-one function is impossible but onto function is possible
Step 1
Concept
(A) has (5) elements and (B) has (3), so it is impossible to assign distinct images to all (5) elements.
Step 2
Why this answer is correct
But it is possible to cover all (3) elements of (B) using (5) elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare cardinalities. चरण 1: (A) में (5) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं इसलिए सभी (5) तत्वों को अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। चरण 2: लेकिन (B) के (3) तत्वों को (A) के (5) तत्वों से कवर करना संभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में तत्वों की संख्या से पहले संभावना जाँचें।
In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Therefore (f(A)) has (6) elements. चरण 1: एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। चरण 2: (A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 3: अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे।
For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore (|B|=|A|=7). चरण 1: द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। चरण 3: इसलिए (|B|=|A|=7) होगा।
For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
Hence (B) also has (6) elements. चरण 1: द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। चरण 2: सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। चरण 3: इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे।
In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (9) elements, (B) also has (9). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे।
In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (B) has (8) elements, (A) also has (8). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे।
In a bijective function, elements are matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (5) elements, (B) also has (5). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का मिलान ठीक एक-एक तरीके से होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (A) में (5) अवयव हैं, अतः (B) में भी (5) होंगे।
Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted. चरण 1: ({1,2}) में (2) अवयव हैं। चरण 2: इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। चरण 3: ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए।
Subsets with the same number of elements are in one class.
Step 2
Why this answer is correct
The number of (2)-element subsets of a (6)-element set is \(\binom{6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
Use combinations for subset-size equivalence classes. चरण 1: समान तत्व-संख्या वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 2: (6) तत्वों वाले समुच्चय से (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। चरण 3: उपसमुच्चय के आकार वाले संबंध में संयोजन का प्रयोग करें।
Subsets with the same size belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
The number of (3)-element subsets of a (5)-element set is \(\binom{5}{3}=10\).
Step 3
Exam Tip
Use combinations in subset-cardinality questions. चरण 1: समान आकार वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 2: (5) तत्वों वाले समुच्चय के (3) तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। चरण 3: उपसमुच्चय संबंधों में संयोजन का प्रयोग करें।
In a reflexive relation, ((x,x)) must exist for every element (x).
Step 2
Why this answer is correct
The set has four elements, so four compulsory pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
For such questions, count the number of elements directly. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व (x) के लिए ((x,x)) होना चाहिए। चरण 2: समुच्चय में चार तत्व हैं, इसलिए चार अनिवार्य युग्म होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सीधे तत्वों की संख्या गिनें।
