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A. (R) तुल्यता सम्बन्ध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी संख्या से उसी संख्या को घटाने पर (0) मिलता है, जो (2) से विभाज्य है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every element, (a-a=0), which is divisible by (2), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (2) से विभाज्य होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में तीनों गुण अलग-अलग जाँचें। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (2), then (a-c) is also divisible by (2). In exams, test all three properties separately.
(2.4) का पूर्णांक भाग (2) है। / The greatest integer part of (2.4) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे (2) से बड़ी या बराबर और (3) से छोटी होती हैं। / Real numbers with greatest integer part (2) are greater than or equal to (2) and less than (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीमा बिंदुओं को ध्यान से देखें, इसलिए वर्ग ([2,3)) है। / In such questions, check the end points carefully, so the class is ([2,3)).
(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / When (7) is divided by (5), the remainder is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (7) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक वही होंगे जिनका शेष (2) हो। / So all integers related to (7) must have the same remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग सीमित नहीं होता जब मूल समुच्चय (Z) हो, इसलिए पूरी शेष श्रेणी लिखना सही है। / Since the base set is (Z), the equivalence class is not finite; write the complete residue class.
(-1) को (4) से भाग देने पर शेष को (3) के रूप में लिखा जाता है। / The remainder of (-1) modulo (4) is written as (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (-1) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक (4) से भाग देने पर शेष (3) देंगे। / So all integers related to (-1) leave remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या आने पर भी शेष को (0,1,2,3) में लिखना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है। / Even for negative numbers, write the remainder in (0,1,2,3) for exam clarity.
(-3) से सम्बन्धित वही संख्याएँ होंगी जिनका परम मान (3) है। / Numbers related to (-3) must have absolute value (3).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में (|x|=3) के हल (x=3) और (x=-3) हैं। / In real numbers, (|x|=3) gives (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले सम्बन्धों में चिन्ह बदलने पर भी मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों संख्याएँ शामिल करें। / In absolute value relations, a sign change may still keep the value equal, so include both numbers.
({1,2}) में (2) अवयव हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। / Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted.
अब (A) में उन संख्याओं को देखें जिनका (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है; ये (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers whose greatest common divisor with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({2,4}) है और इसमें (2) अवयव हैं। / Hence the equivalence class of (4) is ({2,4}), so it has (2) elements.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और हर वर्ग एकल है/It is an equivalence relation and every class is singleton
Step 1
Concept
हर वास्तविक संख्या के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every real number, \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
घन की समानता उलटी दिशा में भी सही रहती है और समानता संक्रामक भी होती है। / Equality of cubes works in both directions and is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b), इसलिए हर तुल्यता वर्ग में केवल वही संख्या आती है। / Over real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b), so every equivalence class is singleton.
हर रेखा का ढाल स्वयं के ढाल के बराबर होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every line has the same slope as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहली रेखा का ढाल दूसरी के बराबर है, तो दूसरी का ढाल भी पहली के बराबर है। / If the slope of one line equals the slope of another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए समान ढाल वाला सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality is transitive, so the same-slope relation is an equivalence relation.
A. एक ही दिशा वाली सभी रेखाओं के समूह/Groups of all lines with the same direction
Step 1
Concept
रेखा की दिशा स्वयं के समान होती है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / A line has the same direction as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान दिशा का अर्थ दोनों ओर से समान है और यह गुण आगे भी बना रहता है। / Same direction is mutual and remains consistent through a third line.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रत्येक तुल्यता वर्ग में समान दिशा वाली रेखाएँ आती हैं, बिंदु से गुजरना आवश्यक नहीं है। / Hence each equivalence class contains lines with one fixed direction, not necessarily lines through one point.
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। / The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे। / If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
(3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। / Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते। / Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर फलन के लिए (f(1)=f(1)), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every function, (f(1)=f(1)), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(1)=g(1)), तो (g(1)=f(1)) भी सही है। / If (f(1)=g(1)), then (g(1)=f(1)) is also true.
Step 3
Exam Tip
यदि (f(1)=g(1)) और (g(1)=h(1)), तो (f(1)=h(1)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / If (f(1)=g(1)) and (g(1)=h(1)), then (f(1)=h(1)), so it is an equivalence relation.
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। / If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation.
सम्बन्ध संख्याओं को सम और विषम दो प्रकारों में बाँटता है। / The relation separates numbers into two types: even and odd.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में विषम भाग ({1,3,5}) और सम भाग ({2,4}) बनते हैं। / In (A), the odd block is ({1,3,5}) and the even block is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध हमेशा समुच्चय का विभाजन बनाता है, इसलिए यहाँ (2) भाग हैं। / An equivalence relation always forms a partition, so there are (2) blocks here.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For any integer (a), (a+a=2a), which is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है तथा (b) और (c) की भी समान है, तो (a) और (c) की भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) has the same parity as (c).
किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। / For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। / If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence.
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है। / Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। / Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation.
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममिति भी पूरी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) अलग वर्ग है और ({3}) अलग वर्ग है; संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है। / ({1,2}) is one class and ({3}) is another; transitivity is not broken, so no pair is needed.
तुल्यता सम्बन्ध में प्रत्येक भाग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs inside each block are included.
Step 2
Why this answer is correct
पहले भाग से \(2^2=4\) और दूसरे भाग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / The first block gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+9=13) युग्म होंगे; पूरे समुच्चय के \(5^2\) युग्म तभी होंगे जब केवल एक वर्ग हो। / Total pairs are (4+9=13); \(5^2\) pairs would occur only if there were one class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए कौन-से युग्म निश्चित रूप से चाहिए?
सम्बन्ध स्वतुल्य और सममित दिखता है, पर संक्रामकता जाँचनी है। / The relation is reflexive and appears symmetric, but transitivity must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए; ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed; from ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is needed.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में एक ही वर्ग के सभी अवयव आपस में जुड़े होते हैं। / In an equivalence relation, all elements of the same class must be mutually related.
(ab>0) का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हैं। / (ab>0) means (a) and (b) are either both positive or both negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी धनात्मक पूर्णांक एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक पूर्णांक दूसरे वर्ग में आते हैं। / So all positive integers form one class and all negative integers form another.
Step 3
Exam Tip
शून्य को समुच्चय में नहीं लिया गया है, इसलिए अलग शून्य वर्ग नहीं बनेगा। / Zero is not included in the set, so no separate zero class is formed.
प्रत्येक भाग के भीतर सभी अवयव आपस में सम्बन्धित होंगे। / Inside each block, every element is related to every element of that block.
Step 2
Why this answer is correct
({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, ({2}) से (1) और ({3}) से (1) युग्म मिलता है। / ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs, ({2}) gives (1), and ({3}) gives (1).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+1+1=6) होंगे। / Total pairs are (4+1+1=6).
किसी भी वृत्त की त्रिज्या स्वयं के बराबर होती है। / The radius of any circle is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले वृत्त की त्रिज्या दूसरे की त्रिज्या के बराबर है, तो उलटा भी सही है। / If the first circle has the same radius as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान त्रिज्या की समानता संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of radius is transitive, so this is an equivalence relation.
किसी तुल्यता वर्ग में यदि (n) अवयव हैं, तो उसके भीतर \(n^2\) क्रमित युग्म बनते हैं। / If an equivalence class has (n) elements, it contributes \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) है। / Here the number of pairs is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
कुल (14) युग्म मिलते हैं; अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / Total pairs are (14); pairs between different classes are not included.
वर्गों को (3) से भाग देने पर शेष देखें। \(1^2,2^2,4^2\) का शेष (1) है। / Look at the remainders of squares on division by (3). The squares \(1^2,2^2,4^2\) leave remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2\) का शेष (0) है, इसलिए (3) इस वर्ग में नहीं आएगा। / \(3^2\) leaves remainder (0), so (3) is not in this class.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गीय शेष रखने वाली संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Numbers with the same square remainder belong to the same equivalence class.
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((a,b)S(a,b)) होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,b)) must satisfy ((a,b)S(a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (a+a=b+b), अर्थात (a=b), जरूरी होगा। / This would require (a+a=b+b), meaning (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म में (a=b) नहीं होता, जैसे ((1,2)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Not every ordered pair has (a=b), for example ((1,2)), so the relation is not equivalence.
A. हर वर्ग में वे संख्याएँ हैं जो किसी चुनी हुई संख्या से परिमेय अंतर रखती हैं/Each class contains numbers having rational difference from a chosen number
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय अंतर का चिन्ह बदलने पर भी वह परिमेय ही रहता है। / Changing the sign of a rational difference keeps it rational.
Step 3
Exam Tip
चुनी हुई संख्या (a) का वर्ग \({x\in R:x-a\in Q}\) होता है; परीक्षा में वर्ग को इसी तरह समझें। / The class of a chosen number (a) is \({x\in R:x-a\in Q}\); this is the key exam idea.
\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(12=2^2\cdot 3\), so its set of prime factors is ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\cdot 3^2\) में भी अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(18=2\cdot 3^2\) also has the prime factor set ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
घातें अलग हो सकती हैं, पर इस सम्बन्ध में केवल अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय देखा जाता है। / Powers may differ, but this relation checks only the set of prime factors.
(3) से भाग देने पर समान शेष वाली संख्याएँ एक वर्ग में आएँगी। / Numbers with the same remainder on division by (3) belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3,6}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3,6}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग आपस में अलग होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes are disjoint and together cover the whole set.
अंग्रेज़ी वर्णमाला के छोटे अक्षरों के समुच्चय पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों स्वर हों या दोनों व्यंजन हों। यह सम्बन्ध कितने तुल्यता वर्ग बनाता है?
सम्बन्ध अक्षरों को दो समूहों में बाँटता है: स्वर और व्यंजन। / The relation divides letters into two groups: vowels and consonants.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही समूह के अक्षर आपस में सम्बन्धित हैं और अलग समूह के अक्षर सम्बन्धित नहीं हैं। / Letters in the same group are related, while letters in different groups are not related.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ठीक (2) तुल्यता वर्ग बनते हैं; विकल्पों में (5) केवल स्वरों की संख्या है, वर्गों की संख्या नहीं। / Hence exactly (2) equivalence classes are formed; (5) is only the number of vowels, not the number of classes.
A. सभी अवयवों का एक ही तुल्यता वर्ग (A) है/All elements have the single equivalence class (A)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In \(A\times A\), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई भी दो अवयव अलग वर्गों में नहीं रह सकते। / Therefore no two elements can lie in different classes.
Step 3
Exam Tip
यह सार्विक सम्बन्ध है और इसका एक ही तुल्यता वर्ग पूरा समुच्चय (A) होता है। / This is the universal relation, and its single equivalence class is the whole set (A).
((1,3)) और ((3,1)) बताते हैं कि (1) और (3) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,3)) and ((3,1)) show that (1) and (3) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से सम्बन्धित हैं, इसलिए वे अलग-अलग एकल वर्ग बनाते हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध को विभाजन में बदलते समय जुड़े हुए अवयवों को एक ही डिब्बे में रखें। / To convert a relation into a partition, put mutually related elements in the same block.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर सम्बन्ध (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
(3) स्वयं (3) का गुणज है। / (3) itself is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में वही अवयव आएँगे जो (3) के गुणज हैं। / Its equivalence class contains exactly those elements that are multiples of (3).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (3) के गुणज (3) और (6) हैं, इसलिए वर्ग ({3,6}) है। / In the given set, the multiples of (3) are (3) and (6), so the class is ({3,6}).
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और (23) का वर्ग उन संख्याओं का है जिनका इकाई अंक (3) है/It is an equivalence relation and the class of (23) contains numbers with unit digit (3)
Step 1
Concept
हर संख्या का इकाई अंक स्वयं के इकाई अंक के समान होता है, इसलिए स्वतुल्य है। / Every number has the same unit digit as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान इकाई अंक की बात उलटी दिशा में भी सही रहती है। / Having the same unit digit works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ तीसरी के समान इकाई अंक रखती हैं, तो वे आपस में भी समान इकाई अंक रखेंगी। / If two numbers have the same unit digit as a third number, they also have the same unit digit as each other.
(x) तभी (1.7) से सम्बन्धित होगा जब (x-1.7) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1.7) only when (x-1.7) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है (x=1.7+n), जहाँ \(n\in Z\)। / This means (x=1.7+n), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
केवल एक अंतराल लिखना गलत होगा, क्योंकि वर्ग में अलग-अलग पूर्णांक दूरी वाली संख्याएँ आती हैं। / Writing just one interval is wrong because the class contains numbers at integer distances.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (2) by (4) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। / In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए। / While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set.
जिन अवयवों के लिए (\min(a,3)=3) होगा, वे (3,4,5) हैं। / The elements for which (\min(a,3)=3) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
फलन के समान मान से बने सम्बन्ध में समान मान वाले सभी अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In a relation made by equal function values, all elements with the same value lie in one class.
हर त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every triangle is similar to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला त्रिभुज दूसरे के समरूप है, तो दूसरा भी पहले के समरूप है। / If the first triangle is similar to the second, the second is similar to the first.
Step 3
Exam Tip
यदि पहला दूसरे के और दूसरा तीसरे के समरूप है, तो पहला तीसरे के समरूप होगा। / If the first is similar to the second and the second to the third, then the first is similar to the third.
तुल्यता वर्गों का मुख्य गुण है कि दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त। / The main property of equivalence classes is that two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ दिया है कि \([a]\neq[b]\), इसलिए समान होने की संभावना नहीं रही। / Here \([a]\neq[b]\), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
अतः दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection must be empty.
तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयव एक ही वर्ग में होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (aRb), तो जो भी (a) से सम्बन्धित है वह (b) से भी सम्बन्धित होगा। / If (aRb), anything related to (a) is also related to (b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों के तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं; वे आंशिक रूप से नहीं बल्कि पूरी तरह समान होते हैं। / Therefore the equivalence classes are equal, not just partially overlapping.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में ((4,7)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
(4) को (2) से भाग देने पर शेष (0) है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(7) को (2) से भाग देने पर शेष (1) है। / (7) leaves remainder (1) when divided by (2).
Step 3
Exam Tip
शेष अलग हैं, इसलिए (4) और (7) सम्बन्धित नहीं हैं और \((4,7)\notin R\) होगा। / The remainders are different, so (4) and (7) are not related and \((4,7)\notin R\).
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। / If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है। / Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition.
A. क्योंकि समान जन्मतिथि की बात स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because having the same date of birth is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी की जन्मतिथि स्वयं के समान होती है। / Every student has the same date of birth as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की जन्मतिथि दूसरे जैसी है, तो दूसरे की भी पहले जैसी है। / If the first student has the same date as the second, the second has the same date as the first.
Step 3
Exam Tip
यदि दो विद्यार्थी तीसरे के साथ समान जन्मतिथि रखते हैं, तो वे आपस में भी समान जन्मतिथि रखेंगे। / If two students share the same date with a third student, they share it with each other too.
