Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a), इसलिए स्वतुल्यता है। / (a+a=2a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) और (b+a) समान हैं, इसलिए सममिति है। / (a+b) and (b+a) are the same, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ समान समता रखती हैं, तो पहली और तीसरी भी समान समता रखती हैं। / If two pairs show the same parity, the first and third also have the same parity.
स्वतुल्यता के लिए तीनों ((a,a)) मौजूद हैं। / Reflexivity holds because all three ((a,a)) pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए दिए गए उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / Symmetry also holds for the given non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, transitivity fails.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a-b) (3) से विभाज्य हो। इस संबंध के तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
किसी व्यक्ति की ऊँचाई स्वयं की ऊँचाई के बराबर होती है। / A person's height is equal to his or her own height.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की ऊँचाई दूसरे के बराबर है, तो दूसरे की भी पहले के बराबर है। / If the first person's height equals the second's, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान ऊँचाई की समानता तीसरे व्यक्ति तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of height also transfers through a third person, so this is an equivalence relation.
हर त्रिभुज का परिमाप स्वयं के परिमाप के बराबर होता है। / Every triangle has the same perimeter as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान परिमाप की बात दोनों दिशाओं में समान रहती है। / Equality of perimeter works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे का परिमाप बराबर है तथा दूसरे और तीसरे का भी बराबर है, तो पहले और तीसरे का परिमाप बराबर होगा। / If the first and second perimeters are equal and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। / Elements in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। / (a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं। / Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid.
(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
(a=b) के कारण स्वतुल्यता पूरी हो जाती है। / The condition (a=b) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) वाली शर्त सममित है। / The condition (a+b=6) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
लेकिन (1R5) और (5R1) हैं, पर (1R1) तो है; बेहतर जाँच में (2R4) और (4R2) भी है। फिर भी वर्ग ({1,5}), ({2,4}), ({3}) बनते हैं, इसलिए यह वास्तव में तुल्यता है। / The relation creates the blocks ({1,5}), ({2,4}), and ({3}), so it is actually an equivalence relation.
A. यह हमेशा तुल्यता सम्बन्ध नहीं होता/It is not always an equivalence relation
Step 1
Concept
संघ में स्वतुल्यता और सममिति अक्सर बच सकती हैं। / Reflexivity and symmetry may often remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / But transitivity can fail because one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup S\) को बिना जाँच तुल्यता सम्बन्ध नहीं माना जाता। / Therefore \(R\cup S\) is not assumed to be an equivalence relation without checking.
A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा/\(R\cap S\) is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। / Symmetry is preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा। / Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation.
हर आयत का क्षेत्रफल स्वयं के क्षेत्रफल के बराबर होता है। / Every rectangle has the same area as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान क्षेत्रफल की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Having equal area works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे का क्षेत्रफल समान है और दूसरे और तीसरे का भी समान है, तो पहले और तीसरे का क्षेत्रफल समान होगा। / If the first and second have equal area, and the second and third have equal area, then the first and third have equal area.
(3.25-0.25=3), जो पूर्णांक है। / (3.25-0.25=3), which is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Therefore both numbers lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
दशमलव भाग समान हो तो पूर्णांक अंतर वाला सम्बन्ध जल्दी पहचाना जा सकता है। / If the decimal part is the same, a relation based on integer difference can be identified quickly.
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध/Universal equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(A\times A\) के बराबर है। / It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.
हर समीकरण अपनी ही रेखा दर्शाता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every equation represents the same line as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला समीकरण दूसरी वाली ही रेखा दर्शाता है, तो दूसरा भी पहली वाली ही रेखा दर्शाता है। / If the first equation represents the same line as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान रेखा दर्शाने की बात संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Representing the same line is transitive, so this is an equivalence relation.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। / In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं। / So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial.
