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A. क्योंकि अनुरेख की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of trace is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी आव्यूह का अनुरेख अपने ही अनुरेख के बराबर है। / The trace of a matrix is equal to its own trace.
Step 2
Why this answer is correct
अनुरेख बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में ठीक रहती है। / Equality of trace works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो आव्यूहों के अनुरेख बराबर हों, तो पहले और तीसरे का अनुरेख भी बराबर होगा। / If the traces are equal pairwise through a middle matrix, then the first and third traces are also equal.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
(1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। / (1) is related to (2), and (2) is related to (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1) का (3) से सम्बन्ध चाहिए, और सममिति के लिए उलटा युग्म भी चाहिए। / Transitivity requires (1) to be related to (3), and symmetry requires the reverse pair too.
Step 3
Exam Tip
(4) केवल स्वयं से जुड़ा है, इसलिए (4) से जुड़े नए युग्म जरूरी नहीं हैं। / (4) is only related to itself, so no new pair involving (4) is needed.
\(\frac{a}{a}=1\), जो परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{a}{a}=1\), which is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, then \(\frac{b}{a}\) is also rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अनुपातों का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है। / The product of two rational ratios is rational, so transitivity also holds.
विषम वर्ग ({1,3,5}) में (3) अवयव हैं और सम वर्ग ({2,4}) में (2) अवयव हैं। / The odd class ({1,3,5}) has (3) elements and the even class ({2,4}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
क्रमित युग्मों की संख्या \(3^2+2^2=9+4\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2=9+4\).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते, इसलिए कुल (13) है। / Pairs between different classes are not counted, so the total is (13).
\(3^2-5^2=9-25=-16\), जो (8) से विभाज्य है। / \(3^2-5^2=9-25=-16\), which is divisible by (8).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में वर्गों का अंतर (8) से विभाज्य नहीं बनता। / In the other options, the difference of squares is not divisible by (8).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीधे वर्गों का अंतर निकालना तेज और सुरक्षित तरीका है। / In such questions, directly checking the difference of squares is quick and reliable.
A. क्योंकि समान जन्मतिथि की बात स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because having the same date of birth is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी की जन्मतिथि स्वयं के समान होती है। / Every student has the same date of birth as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की जन्मतिथि दूसरे जैसी है, तो दूसरे की भी पहले जैसी है। / If the first student has the same date as the second, the second has the same date as the first.
Step 3
Exam Tip
यदि दो विद्यार्थी तीसरे के साथ समान जन्मतिथि रखते हैं, तो वे आपस में भी समान जन्मतिथि रखेंगे। / If two students share the same date with a third student, they share it with each other too.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में ((4,7)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
(4) को (2) से भाग देने पर शेष (0) है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(7) को (2) से भाग देने पर शेष (1) है। / (7) leaves remainder (1) when divided by (2).
Step 3
Exam Tip
शेष अलग हैं, इसलिए (4) और (7) सम्बन्धित नहीं हैं और \((4,7)\notin R\) होगा। / The remainders are different, so (4) and (7) are not related and \((4,7)\notin R\).
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((a,b)S(a,b)) होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,b)) must satisfy ((a,b)S(a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (a+a=b+b), अर्थात (a=b), जरूरी होगा। / This would require (a+a=b+b), meaning (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म में (a=b) नहीं होता, जैसे ((1,2)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Not every ordered pair has (a=b), for example ((1,2)), so the relation is not equivalence.
किसी भी वृत्त की त्रिज्या स्वयं के बराबर होती है। / The radius of any circle is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले वृत्त की त्रिज्या दूसरे की त्रिज्या के बराबर है, तो उलटा भी सही है। / If the first circle has the same radius as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान त्रिज्या की समानता संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of radius is transitive, so this is an equivalence relation.
तुल्यता सम्बन्ध में प्रत्येक भाग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs inside each block are included.
Step 2
Why this answer is correct
पहले भाग से \(2^2=4\) और दूसरे भाग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / The first block gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+9=13) युग्म होंगे; पूरे समुच्चय के \(5^2\) युग्म तभी होंगे जब केवल एक वर्ग हो। / Total pairs are (4+9=13); \(5^2\) pairs would occur only if there were one class.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। / Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation.
किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। / For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। / If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence.
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। / If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
(3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। / Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते। / Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और हर वर्ग एकल है/It is an equivalence relation and every class is singleton
Step 1
Concept
हर वास्तविक संख्या के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every real number, \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
घन की समानता उलटी दिशा में भी सही रहती है और समानता संक्रामक भी होती है। / Equality of cubes works in both directions and is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b), इसलिए हर तुल्यता वर्ग में केवल वही संख्या आती है। / Over real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b), so every equivalence class is singleton.
(2.4) का पूर्णांक भाग (2) है। / The greatest integer part of (2.4) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे (2) से बड़ी या बराबर और (3) से छोटी होती हैं। / Real numbers with greatest integer part (2) are greater than or equal to (2) and less than (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीमा बिंदुओं को ध्यान से देखें, इसलिए वर्ग ([2,3)) है। / In such questions, check the end points carefully, so the class is ([2,3)).
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। / If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है। / Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition.
हर त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every triangle is similar to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला त्रिभुज दूसरे के समरूप है, तो दूसरा भी पहले के समरूप है। / If the first triangle is similar to the second, the second is similar to the first.
Step 3
Exam Tip
यदि पहला दूसरे के और दूसरा तीसरे के समरूप है, तो पहला तीसरे के समरूप होगा। / If the first is similar to the second and the second to the third, then the first is similar to the third.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और (23) का वर्ग उन संख्याओं का है जिनका इकाई अंक (3) है/It is an equivalence relation and the class of (23) contains numbers with unit digit (3)
Step 1
Concept
हर संख्या का इकाई अंक स्वयं के इकाई अंक के समान होता है, इसलिए स्वतुल्य है। / Every number has the same unit digit as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान इकाई अंक की बात उलटी दिशा में भी सही रहती है। / Having the same unit digit works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ तीसरी के समान इकाई अंक रखती हैं, तो वे आपस में भी समान इकाई अंक रखेंगी। / If two numbers have the same unit digit as a third number, they also have the same unit digit as each other.
प्रत्येक भाग के भीतर सभी अवयव आपस में सम्बन्धित होंगे। / Inside each block, every element is related to every element of that block.
Step 2
Why this answer is correct
({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, ({2}) से (1) और ({3}) से (1) युग्म मिलता है। / ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs, ({2}) gives (1), and ({3}) gives (1).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+1+1=6) होंगे। / Total pairs are (4+1+1=6).
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए कौन-से युग्म निश्चित रूप से चाहिए?
सम्बन्ध स्वतुल्य और सममित दिखता है, पर संक्रामकता जाँचनी है। / The relation is reflexive and appears symmetric, but transitivity must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए; ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed; from ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is needed.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में एक ही वर्ग के सभी अवयव आपस में जुड़े होते हैं। / In an equivalence relation, all elements of the same class must be mutually related.
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममिति भी पूरी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) अलग वर्ग है और ({3}) अलग वर्ग है; संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है। / ({1,2}) is one class and ({3}) is another; transitivity is not broken, so no pair is needed.
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है। / Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For any integer (a), (a+a=2a), which is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है तथा (b) और (c) की भी समान है, तो (a) और (c) की भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) has the same parity as (c).
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर फलन के लिए (f(1)=f(1)), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every function, (f(1)=f(1)), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(1)=g(1)), तो (g(1)=f(1)) भी सही है। / If (f(1)=g(1)), then (g(1)=f(1)) is also true.
Step 3
Exam Tip
यदि (f(1)=g(1)) और (g(1)=h(1)), तो (f(1)=h(1)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / If (f(1)=g(1)) and (g(1)=h(1)), then (f(1)=h(1)), so it is an equivalence relation.
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। / The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे। / If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
हर रेखा का ढाल स्वयं के ढाल के बराबर होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every line has the same slope as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहली रेखा का ढाल दूसरी के बराबर है, तो दूसरी का ढाल भी पहली के बराबर है। / If the slope of one line equals the slope of another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए समान ढाल वाला सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality is transitive, so the same-slope relation is an equivalence relation.
A. (R) तुल्यता सम्बन्ध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी संख्या से उसी संख्या को घटाने पर (0) मिलता है, जो (2) से विभाज्य है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every element, (a-a=0), which is divisible by (2), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (2) से विभाज्य होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में तीनों गुण अलग-अलग जाँचें। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (2), then (a-c) is also divisible by (2). In exams, test all three properties separately.
दो गैर-रिक्त वर्गों के आकारों का योग (7) है। / The two non-empty class sizes must add to (7).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गों के वर्गों का योग अधिकतम तब होगा जब आकार सबसे असंतुलित हों, यानी (6) और (1)। / The sum of squares is maximum when the sizes are most unequal, (6) and (1).
Step 3
Exam Tip
युग्मों की संख्या \(6^2+1^2=36+1=37\) होगी। / The pair count is \(6^2+1^2=37\).
