Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
No integer is both even and odd, so the intersection is empty. चरण 1: ([1]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। चरण 2: ([2]) सभी सम पूर्णांकों का वर्ग है। चरण 3: कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है।
Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
Distinct blocks have no common element.
Step 3
Exam Tip
Therefore the intersection of distinct classes is empty. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। चरण 2: अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। चरण 3: इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है।
In an equivalence relation, two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) are not related, their classes cannot be equal.
Step 3
Exam Tip
Therefore the intersection of their classes is empty. चरण 1: तुल्यता सम्बन्ध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) सम्बन्धित नहीं हैं, तो उनके वर्ग समान नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए उनके वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition. चरण 1: तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। चरण 2: यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है।
Thus (3) and (11) lie in different equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
Distinct equivalence classes have empty intersection. चरण 1: (11-3=8), जो (7) से विभाज्य नहीं है। चरण 2: इसलिए (3) और (11) अलग तुल्यता वर्गों में हैं। चरण 3: अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है।
If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.
Step 3
Exam Tip
Therefore their intersection is empty. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। चरण 2: यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। चरण 3: समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
Equivalence classes are either equal or completely disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
Since \([a]\neq[b]\), they are not equal.
Step 3
Exam Tip
Hence their intersection is empty. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या पूरी तरह अलग। चरण 2: जब \([a]\neq[b]\) है, तो वे समान नहीं हैं। चरण 3: इसलिए उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
If (a) and (b) are not related, they cannot be in the same class.
Step 3
Exam Tip
Hence their classes are disjoint. चरण 1: तुल्यता संबंध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) संबंधित नहीं हैं, तो वे एक ही वर्ग में नहीं हो सकते। चरण 3: इसलिए उनके वर्ग अलग-अलग होंगे और उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा।
A partition has non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) and ({3,4}) are disjoint and cover (A).
Step 3
Exam Tip
Every equivalence relation creates a partition. चरण 1: विभाजन में समूह खाली नहीं होते, आपस में कटते नहीं और उनका संघ पूरा समुच्चय होता है। चरण 2: ({1,2}) और ({3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। चरण 3: हर तुल्यता संबंध समुच्चय का विभाजन बनाता है।
Distinct equivalence classes have empty intersection. चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो बराबर होते हैं या पूरी तरह अलग। चरण 2: यदि \([a]\neq[b]\), तो उनमें कोई साझा तत्व नहीं होगा। चरण 3: अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली होता है।
An equivalence relation divides a set into separate groups.
Step 2
Why this answer is correct
Two distinct classes have no common element.
Step 3
Exam Tip
If two classes share even one element, they are the same class. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग समूहों में बाँटता है। चरण 2: दो अलग वर्गों में कोई साझा तत्व नहीं होता। चरण 3: यदि दो वर्गों में एक भी साझा तत्व हो, तो वे अलग नहीं बल्कि वही वर्ग होंगे।
In an equivalence relation, two elements lie in the same class exactly when they are related.
Step 2
Why this answer is correct
Since (aRb) is false, (a) and (b) are not in the same class.
Step 3
Exam Tip
Distinct equivalence classes are disjoint. चरण 1: तुल्यता संबंध में दो तत्व एक ही वर्ग में तभी होते हैं जब वे संबंधित हों। चरण 2: (aRb) असत्य है, इसलिए (a) और (b) एक वर्ग में नहीं हैं। चरण 3: अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है।
