पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (9) से विभाज्य हो। (25) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (9). Which is the equivalence class of (25)?
#equivalence relation
#modulo 9
#equivalence class
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? Hint Small clue
A ({..., -2,7,16,25,34,...})
B ({..., 0,9,18,27,36,...})
C ({..., 1,10,19,28,37,...})
D ({25})
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Correct Answer
A. ({..., -2,7,16,25,34,...})
Step 1
Concept
(25) से संबंधित हर पूर्णांक का (25) से अंतर (9) का गुणज होना चाहिए। / Every integer related to (25) must differ from (25) by a multiple of (9).
Step 2
Why this answer is correct
(25) को (9) से भाग देने पर शेष (7) मिलता है, इसलिए समान शेष (7) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में आएँगे। / (25) gives remainder (7) on division by (9), so integers with the same remainder (7) form its class.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में पहले शेष निकालें, फिर उसी शेष वाले तत्व चुनें। / In modulo questions, first find the remainder.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\). Which is the equivalence class of (7)?
#modulo 4
#finite set
#equivalence class
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? Hint Small clue
A ({3,7})
B ({1,5})
C ({4,8})
D ({2,6})
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Correct Answer
A. ({3,7})
Step 1
Concept
(7) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। / (7) gives remainder (3) on division by (4).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (3) और (7) ही शेष (3) देते हैं। / In the given set, only (3) and (7) give remainder (3).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के तत्व लें। / For a finite set, include only elements from that set.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान भागफल मिले। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same quotient on division by (3). Which is the equivalence class of (4)?
#quotient based relation
#equivalence class
#finite set
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? Hint Small clue
A ({3,4,5})
B ({0,1,2})
C ({1,4})
D ({4})
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Correct Answer
A. ({3,4,5})
Step 1
Concept
(4) को (3) से भाग देने पर भागफल (1) मिलता है। / Dividing (4) by (3) gives quotient (1).
Step 2
Why this answer is correct
(3,4,5) तीनों का भागफल (1) है। / The numbers (3,4,5) all have quotient (1).
Step 3
Exam Tip
संबंध शेष पर नहीं, भागफल पर आधारित है; इसलिए शर्त को ध्यान से पढ़ें। / Read carefully whether the relation is based on quotient or remainder.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\)?
#finite relation
#equivalence classes
#grouping
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A ({1,3,5},{2},{4})
B ({1,2},{3,4,5})
C ({1,5},{2,3,4})
D ({1,2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,3,5},{2},{4})
Step 1
Concept
(1,3,5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,3,5) are mutually related, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानकर तुल्यता वर्ग जल्दी मिलते हैं। / Identify connected groups from the ordered pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) में संक्रमणता के लिए कौन सा युग्म अवश्य चाहिए?
On \(A=\{1,2,3\}\), in \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair is necessary for transitivity?
#transitivity
#missing pair
#equivalence test
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A ((1,3))
B ((1,1))
C ((2,2))
D ((3,3))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में मौजूद हैं। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
बीच वाले तत्व को पहचानकर पहले और तीसरे तत्व का युग्म देखें। / Identify the middle element and check the pair from the first to the third element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) not an equivalence relation?
#reflexivity failure
#diagonal pair
#equivalence relation
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A क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
B क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
C क्योंकि ((1,2)) नहीं है / Because ((1,2)) is missing
D क्योंकि यह सममित है / Because it is symmetric
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Correct Answer
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए समुच्चय के हर तत्व का स्वयं से संबंध जरूरी है। / Reflexivity requires every element of the set to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(3) समुच्चय में है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is in the set, but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म छूट जाए तो संबंध तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / If even one diagonal pair is absent, the relation cannot be an equivalence relation.
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यदि तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({2,4,6},{1,3},{5}) में बाँटता है, तो (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
If an equivalence relation partitions a set into ({2,4,6},{1,3},{5}), which is the equivalence class of (3)?
#partition
#equivalence class
#blocks
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A ({1,3})
B ({2,4,6})
C ({5})
D ({3})
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Correct Answer
A. ({1,3})
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। / The equivalence class of an element is the block containing that element.
Step 2
Why this answer is correct
(3) समूह ({1,3}) में है। / (3) lies in ({1,3}).
Step 3
Exam Tip
विभाजन दिए होने पर तत्व वाला समूह सीधे चुनें। / When a partition is given, directly choose the block containing the element.
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यदि किसी तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (4) और (2) हैं, तो संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
If an equivalence relation has class sizes (4) and (2), how many ordered pairs are in the relation?
#counting pairs
#class size
#equivalence relation
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A (12)
B (18)
C (20)
D (36)
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Step 1
Concept
आकार (m) वाले वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कुल युग्म \(4^2+2^2=16+4\) होंगे। / The total is \(4^2+2^2=16+4\).
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते, इसलिए उत्तर (20) है। / No pairs are added between different classes, so the answer is (20).
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) का सही विभाजन दिया है?
Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)?
#valid partition
#equivalence classes
#finite set
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A ({1,2},{3,4},{5,6})
B ({1,2,3},{3,4},{5,6})
C ({1,2},{4,5,6})
D \({1,2,3,4,5,6},\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({1,2},{3,4},{5,6})
Step 1
Concept
विभाजन में सभी समूह खाली नहीं होने चाहिए, आपस में कटने नहीं चाहिए और पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / A partition must have non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प के समूह अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / The first option has disjoint blocks covering all of (A).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्गों की सूची हमेशा ऐसे ही सही विभाजन बनाती है। / Equivalence classes always form such a partition.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन नहीं बनता?
Which option does not form a partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#invalid partition
#overlapping blocks
#equivalence classes
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A ({1,2},{2,3},{4,5})
B ({1},{2,3},{4,5})
C ({1,2,3},{4,5})
D ({1,5},{2,4},{3})
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Correct Answer
A. ({1,2},{2,3},{4,5})
Step 1
Concept
विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। / In a partition, different blocks must not share an element.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में (2) दोनों समूहों ({1,2}) और ({2,3}) में है। / In the first option, (2) appears in both ({1,2}) and ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग आपस में कटते नहीं हैं। / Equivalence classes do not overlap.
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अशून्य परिमेय संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}>0\)। \(-\frac{3}{5}\) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On non-zero rational numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}>0\). Which is the equivalence class of \(-\frac{3}{5}\)?
#same sign
#rational numbers
#equivalence class
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A सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ / All negative rational numbers
B सभी धनात्मक परिमेय संख्याएँ / All positive rational numbers
C सभी अशून्य परिमेय संख्याएँ / All non-zero rational numbers
D केवल \({-\frac{3}{5}}\) / Only \({-\frac{3}{5}}\)
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Correct Answer
A. सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ / All negative rational numbers
Step 1
Concept
\(-\frac{3}{5}\) ऋणात्मक है। / \(-\frac{3}{5}\) is negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) तभी होगा जब दोनों संख्याओं का चिन्ह समान हो। / \(\frac{a}{b}>0\) holds when both numbers have the same sign.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसका वर्ग सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समूह है। / Hence its class is the set of all negative rational numbers.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) पूर्णांक हो। (2.3) के तुल्यता वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is an integer. Which element belongs to the equivalence class of (2.3)?
#integer difference
#real numbers
#equivalence class
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A (5.3)
B (2.8)
C (3.1)
D (0)
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Step 1
Concept
(5.3-2.3=3) है। / (5.3-2.3=3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) पूर्णांक है, इसलिए (5.3), (2.3) के वर्ग में आएगा। / Since (3) is an integer, (5.3) belongs to the class of (2.3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें कि वह पूर्णांक है या नहीं। / Subtract from the given element and check whether the difference is an integer.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=\lfloor \frac{b}{3}\rfloor\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) holds when \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=\lfloor \frac{b}{3}\rfloor\). Which is the equivalence class of (5)?
#floor function
#integers
#equivalence class
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A ({3,4,5})
B ({0,1,2})
C ({5,6,7})
D ({4,5,6})
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Correct Answer
A. ({3,4,5})
Step 1
Concept
\(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\) है। / \(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\).
Step 2
Why this answer is correct
(3,4,5) के लिए भी \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=1\) मिलता है। / For (3,4,5), the value of \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor\) is also (1).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग वाले संबंध में समान पूर्णांक भाग वाले तत्व ही एक वर्ग बनाते हैं। / In floor-based relations, elements with the same floor value form one class.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। (42) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same last digit. Which is the equivalence class of (42)?
#last digit
#natural numbers
#equivalence class
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A वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (2) है / All natural numbers ending in (2)
B वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (4) है / All natural numbers ending in (4)
C सभी सम प्राकृतिक संख्याएँ / All even natural numbers
D केवल ({42}) / Only ({42})
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Correct Answer
A. वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (2) है / All natural numbers ending in (2)
Step 1
Concept
(42) का अंतिम अंक (2) है। / The last digit of (42) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
उसी अंतिम अंक वाली संख्याएँ (2,12,22,32,42) आदि हैं। / Numbers such as (2,12,22,32,42) have the same last digit.
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक वाले संबंध में पूरा वर्ग अंतिम अंक से तय होता है, केवल सम-विषम से नहीं। / This class is decided by the last digit, not just by parity.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{1}{a}\) और \(\frac{1}{b}\) का चिन्ह समान हो। यह संबंध कैसा है?
On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{1}{a}\) and \(\frac{1}{b}\) have the same sign. What type of relation is it?
#reciprocal sign
#nonzero real numbers
#equivalence relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{1}{a}\) का चिन्ह स्वयं के चिन्ह के समान होता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{1}{a}\) has the same sign as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान चिन्ह का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Having the same sign is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो प्रतिलोमों के चिन्ह समान हैं, तो पहली और तीसरी का चिन्ह भी समान होगा। / If two reciprocal signs are equal through a middle element, the first and third signs are also equal.
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समुच्चय \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)\}\) पर (aRb) तब है जब दोनों क्रमित युग्मों का दूसरा घटक समान हो। ((1,2)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)\}\), (aRb) holds when the two ordered pairs have the same second component. Which is the equivalence class of ((1,2))?
#ordered pairs
#second component
#equivalence class
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A ({(1,2),(2,2),(3,2)})
B ({(1,1),(2,1)})
C ({(1,1),(1,2)})
D ({(1,2)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,2),(3,2)})
Step 1
Concept
((1,2)) का दूसरा घटक (2) है। / The second component of ((1,2)) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे घटक (2) वाले युग्म ((1,2),(2,2),(3,2)) हैं। / The pairs with second component (2) are ((1,2),(2,2),(3,2)).
Step 3
Exam Tip
घटक आधारित संबंध में वही घटक समान रखने वाले सभी तत्व वर्ग में आते हैं। / In component-based relations, all elements with the specified same component form the class.
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समतल में बिंदुओं पर (P R Q) तब है जब (P) और (Q) का (y)-निर्देशांक समान हो। बिंदु ((3,5)) का तुल्यता वर्ग क्या है?
For points in the plane, (P R Q) holds when (P) and (Q) have the same (y)-coordinate. What is the equivalence class of ((3,5))?
#coordinate geometry
#same y coordinate
#equivalence class
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A सभी बिंदु जिनका (y)-निर्देशांक (5) है / All points whose (y)-coordinate is (5)
B सभी बिंदु जिनका (x)-निर्देशांक (3) है / All points whose (x)-coordinate is (3)
C केवल ({(3,5)}) / Only ({(3,5)})
D सभी बिंदु जिनका (x+y=8) है / All points whose (x+y=8)
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Correct Answer
A. सभी बिंदु जिनका (y)-निर्देशांक (5) है / All points whose (y)-coordinate is (5)
Step 1
Concept
((3,5)) का (y)-निर्देशांक (5) है। / The (y)-coordinate of ((3,5)) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
समान (y)-निर्देशांक वाले सभी बिंदु इसी वर्ग में आएँगे। / All points with the same (y)-coordinate (5) belong to its class.
Step 3
Exam Tip
निर्देशांक वाले संबंध में कौन सा निर्देशांक समान रखना है, इसे ध्यान से पढ़ें। / In coordinate relations, note carefully which coordinate must be equal.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a-2|=|b-2|)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) holds when (|a-2|=|b-2|). What type of relation is it?
#absolute distance
#equivalence relation
#real numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|a-2|=|a-2|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-2|=|a-2|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी का कथन उल्टे क्रम में भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when the order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो दूरियाँ एक ही मध्य दूरी के बराबर हैं, तो वे आपस में भी बराबर होंगी। / If two distances equal the same middle distance, they are equal to each other.
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वास्तविक संख्याओं पर (|a-2|=|b-2|) वाले संबंध में (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
For the relation (|a-2|=|b-2|) on real numbers, which is the equivalence class of (5)?
#absolute distance
#equivalence class
#real numbers
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A ({-1,5})
B ({2,5})
C ({5})
D सभी वास्तविक संख्याएँ / All real numbers
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Correct Answer
A. ({-1,5})
Step 1
Concept
(5) की (2) से दूरी (3) है। / The distance of (5) from (2) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से दूरी (3) वाले वास्तविक मान (5) और (-1) हैं। / The real numbers at distance (3) from (2) are (5) and (-1).
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित वर्ग में केंद्र से समान दूरी वाले तत्व आते हैं। / In distance-based classes, include points at the same distance from the center.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में अंकों का योग समान हो। यह संबंध कैसा है?
On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same sum of digits. What type of relation is it?
#digit sum
#natural numbers
#equivalence relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या के अंकों का योग स्वयं के अंकों के योग के समान है। / Every number has the same digit sum as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान योग का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Equality of digit sum is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या के समान अंकों का योग रखती हैं, तो वे आपस में भी समान योग रखेंगी। / If two numbers have the same digit sum as a middle number, they have the same digit sum as each other.
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अंकों के योग समान होने वाले संबंध में (23) का तुल्यता वर्ग किस प्रकार की संख्याओं का समूह होगा?
For the relation based on equal sum of digits, the equivalence class of (23) will be the set of which type of numbers?
#digit sum
#equivalence class
#natural numbers
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? Hint Small clue
A वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकों का योग (5) है / Natural numbers whose digit sum is (5)
B वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (3) है / Natural numbers ending in (3)
C वे सभी विषम संख्याएँ / All odd numbers
D केवल ({23}) / Only ({23})
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Correct Answer
A. वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकों का योग (5) है / Natural numbers whose digit sum is (5)
Step 1
Concept
(23) के अंकों का योग (2+3=5) है। / The digit sum of (23) is (2+3=5).
Step 2
Why this answer is correct
उसी वर्ग में वे संख्याएँ होंगी जिनके अंकों का योग (5) है। / Its class contains numbers whose digit sum is (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग हमेशा संबंध की दी हुई शर्त से बनता है, बाहरी गुण से नहीं। / An equivalence class is formed by the defining condition of the relation.
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किस विकल्प में संबंध तुल्यता संबंध नहीं है?
Which option is not an equivalence relation?
#non equivalence
#greater than relation
#relation properties
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? Hint Small clue
A वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b) / On real numbers, (aRb) when (a>b)
B पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) (4) से विभाज्य हो / On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (4)
C व्यक्तियों पर समान जन्म वर्ष वाला संबंध / Relation of having the same birth year among persons
D समतल में समान (x)-निर्देशांक वाला संबंध / Relation of having the same (x)-coordinate in a plane
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Correct Answer
A. वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b) / On real numbers, (aRb) when (a>b)
Step 1
Concept
(a>b) संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (a>a) गलत है। / The relation (a>b) is not reflexive because (a>a) is false.
Step 2
Why this answer is correct
यह सममित भी नहीं है, क्योंकि (5>3) सही है पर (3>5) गलत है। / It is also not symmetric, since (5>3) does not imply (3>5).
Step 3
Exam Tip
तुलना वाले सख्त संबंध सामान्यतः तुल्यता संबंध नहीं होते। / Strict order relations are generally not equivalence relations.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^2-b^2\) संख्या (3) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) holds when \(a^2-b^2\) is divisible by (3). What type of relation is it?
#square difference
#divisibility
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2-b^2\) (3) से विभाज्य है, तो \(b^2-a^2\) भी विभाज्य होगा। / If \(a^2-b^2\) is divisible by (3), then \(b^2-a^2\) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
समान वर्गीय शेष होने से संक्रमणता भी पूरी होती है। / Equality of square remainders modulo (3) is transitive.
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पूर्णांकों पर \(a^2-b^2\) संख्या (3) से विभाज्य होने वाले संबंध में (2) के वर्ग में कौन सा तत्व अवश्य आएगा?
For the relation on integers where \(a^2-b^2\) is divisible by (3), which element must belong to the class of (2)?
#square difference
#equivalence class
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (3)
C (6)
D (9)
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Step 1
Concept
\(2^2=4\) और \(5^2=25\) हैं। / \(2^2=4\) and \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
(25-4=21), जो (3) से विभाज्य है। / (25-4=21), which is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में वर्गों का अंतर निकालकर विभाज्यता जांचें। / For options, subtract the squares and test divisibility.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), which statement is correct?
#disjoint classes
#equivalence classes
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B \([a]\cap[b]=[a]\)
C \([a]\cap[b]=[b]\)
D (aRb) अवश्य सही है / (aRb) must be true
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Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or completely disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
जब \([a]\neq[b]\) है, तो वे समान नहीं हैं। / Since \([a]\neq[b]\), they are not equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their intersection is empty.
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यदि किसी तुल्यता संबंध में ([x]={1,4,7}), तो निम्न में से कौन सा युग्म संबंध में निश्चित रूप से होगा?
If ([x]={1,4,7}) in an equivalence relation, which of the following pairs is definitely in the relation?
#same class
#ordered pair
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((4,7))
B ((1,2))
C ((7,3))
D ((2,4))
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Correct Answer
A. ((4,7))
Step 1
Concept
एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same equivalence class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(4) और (7) दोनों ({1,4,7}) में हैं। / (4) and (7) both lie in ({1,4,7}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((4,7)) संबंध में निश्चित रूप से होगा। / Therefore ((4,7)) is definitely in the relation.
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किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य और सममित है, पर संक्रमण जरूरी नहीं है?
Which option gives a relation that is reflexive and symmetric but not necessarily transitive?
#reflexive symmetric
#not transitive
#relation example
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A लोगों में एक-दूसरे से परिचित होने का संबंध / Relation of being acquainted among people
B समान आयु वाला संबंध / Relation of having the same age
C समान शेष वाला संबंध / Same remainder relation
D बराबरी संबंध / Equality relation
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Correct Answer
A. लोगों में एक-दूसरे से परिचित होने का संबंध / Relation of being acquainted among people
Step 1
Concept
कोई व्यक्ति स्वयं से परिचित माना जा सकता है, इसलिए स्वतुल्यता हो सकती है। / A person may be considered acquainted with himself or herself, so reflexivity can hold.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला व्यक्ति दूसरे से परिचित है, तो दूसरा भी पहले से परिचित माना जाता है, इसलिए सममितता है। / If one person is acquainted with another, the reverse is also true, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
पर पहला दूसरे से और दूसरा तीसरे से परिचित हो, तो पहला तीसरे से परिचित हो यह जरूरी नहीं। / But acquaintance need not pass through a third person, so transitivity can fail.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (4) से अधिक हों या दोनों (4) से अधिक न हों। (6) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both greater than (4) or both not greater than (4). What is the equivalence class of (6)?
#classification
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({5,6,7})
B ({1,2,3,4})
C ({4,5,6,7})
D ({6})
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Correct Answer
A. ({5,6,7})
Step 1
Concept
(6), (4) से अधिक है। / (6) is greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
(4) से अधिक तत्व (5,6,7) हैं। / The elements greater than (4) are (5,6,7).
Step 3
Exam Tip
समूह आधारित संबंध में दिया गया तत्व जिस समूह में हो, वही उसका तुल्यता वर्ग होता है। / In a grouping relation, the class of an element is the group containing it.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों या दोनों अभाज्य न हों। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both prime or both not prime. Which is the equivalence class of (1)?
#prime classification
#equivalence class
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,4,6})
B ({2,3,5})
C ({1})
D ({1,2,3,5})
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Correct Answer
A. ({1,4,6})
Step 1
Concept
(1) अभाज्य नहीं है। / (1) is not prime.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) और (6) भी अभाज्य नहीं हैं। / In the given set, (4) and (6) are also not prime.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य और अभाज्य न होने के आधार पर दो वर्ग बनते हैं। / The relation creates two classes: prime and non-prime elements.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या (a+b=5)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or (a+b=5). How many ordered pairs are in the relation?
#sum condition
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (4)
C (6)
D (16)
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Step 1
Concept
(a=b) से चार विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) से असमान युग्म ((1,4),(4,1),(2,3),(3,2)) मिलते हैं। / The condition (a+b=5) gives non-diagonal pairs ((1,4),(4,1),(2,3),(3,2)).
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (4+4=8) pairs.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध दिया गया है?
Which option gives the identity relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?
#identity relation
#diagonal pairs
#finite set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
B \(A\times A\)
C ({(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसमें केवल ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होंगे। / Therefore it contains only ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध में अंतर साफ रखें। / Keep the identity relation distinct from the universal relation.
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किस विकल्प में \(A=\{1,2\}\) पर सार्वत्रिक संबंध दिया गया है?
Which option gives the universal relation on \(A=\{1,2\}\)?
#universal relation
#cartesian product
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)})
B ({(1,1),(2,2)})
C ({(1,2),(2,1)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)})
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में समुच्चय के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / The universal relation contains all possible ordered pairs from the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(A=\{1,2\}\) के लिए कुल \(2^2=4\) युग्म होंगे। / For \(A=\{1,2\}\), there are \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
सभी चार युग्म वाला विकल्प सार्वत्रिक संबंध है। / The option with all four pairs is the universal relation.
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यदि (A) में (6) तत्व हैं और सार्वत्रिक संबंध लिया गया है, तो संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
If (A) has (6) elements and the universal relation is taken, how many ordered pairs are in the relation?
#universal relation
#counting ordered pairs
#cartesian product
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (36)
B (6)
C (12)
D (18)
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Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। / The universal relation is \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (A) में (6) तत्व हैं, तो \(A\times A\) में \(6^2=36\) युग्म होंगे। / If (A) has (6) elements, then \(A\times A\) has \(6^2=36\) pairs.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In a universal relation, every element is related to every element.
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यदि (A) में (6) तत्व हैं और पहचान संबंध लिया गया है, तो संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
If (A) has (6) elements and the identity relation is taken, how many ordered pairs are in the relation?
#identity relation
#counting pairs
#diagonal pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (6)
B (12)
C (30)
D (36)
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Step 1
Concept
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(6) तत्वों के लिए ऐसे (6) विकर्ण युग्म होंगे। / For (6) elements, there are (6) such diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / In an identity relation, the number of pairs equals the number of elements.
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किस कथन में तुल्यता संबंध और विभाजन का सही संबंध बताया गया है?
Which statement correctly describes the connection between an equivalence relation and a partition?
#equivalence relation
#partition
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर तुल्यता संबंध एक विभाजन बनाता है / Every equivalence relation forms a partition
B हर संबंध एक विभाजन बनाता है / Every relation forms a partition
C तुल्यता संबंध में वर्ग हमेशा रिक्त होते हैं / Classes in an equivalence relation are always empty
D विभाजन में समूह हमेशा कटते हैं / Blocks in a partition always overlap
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Correct Answer
A. हर तुल्यता संबंध एक विभाजन बनाता है / Every equivalence relation forms a partition
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय ढकते हैं। / Classes of an equivalence relation cover the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / Distinct classes do not overlap.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण हर तुल्यता संबंध समुच्चय का विभाजन देता है। / Therefore every equivalence relation gives a partition of the set.
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यदि किसी विभाजन से तुल्यता संबंध बनाया जाए, तो किन तत्वों के बीच संबंध रखा जाता है?
When an equivalence relation is formed from a partition, which elements are related?
#partition to relation
#equivalence classes
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जो एक ही समूह में हों / Elements that lie in the same block
B जो अलग-अलग समूहों में हों / Elements that lie in different blocks
C केवल सबसे छोटे तत्व / Only the smallest elements
D केवल सबसे बड़े तत्व / Only the largest elements
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Correct Answer
A. जो एक ही समूह में हों / Elements that lie in the same block
Step 1
Concept
विभाजन के हर समूह को एक तुल्यता वर्ग माना जाता है। / Each block of a partition is treated as an equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही समूह के किसी भी दो तत्वों को संबंधित रखा जाता है। / Any two elements in the same block are related.
Step 3
Exam Tip
अलग समूहों के तत्वों के बीच संबंध नहीं जोड़ा जाता। / Elements from different blocks are not related.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म होगा?
For the partition ({1,6},{2,5},{3,4}) of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), which pair belongs to the corresponding equivalence relation?
#partition
#ordered pair
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((2,5))
B ((1,5))
C ((2,4))
D ((3,6))
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Correct Answer
A. ((2,5))
Step 1
Concept
विभाजन से बने संबंध में एक ही समूह के तत्वों के युग्म लिए जाते हैं। / In the relation formed from a partition, pairs are taken from within the same block.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (5) समूह ({2,5}) में साथ हैं। / (2) and (5) are together in the block ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,5)) संबंध में होगा। / Therefore ((2,5)) belongs to the relation.
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उसी विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?
For the same partition ({1,6},{2,5},{3,4}), which pair will not belong to the relation?
#different blocks
#partition
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,2))
B ((6,1))
C ((5,2))
D ((4,3))
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Correct Answer
A. ((1,2))
Step 1
Concept
(1) समूह ({1,6}) में है और (2) समूह ({2,5}) में है। / (1) is in ({1,6}), while (2) is in ({2,5}).
Step 2
Why this answer is correct
वे अलग-अलग समूहों में हैं, इसलिए संबंधित नहीं होंगे। / They are in different blocks, so they are not related.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनता। / No pair is formed between different classes.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों सम न हों। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) holds when (a) and (b) are both even or both not even. What type of relation is it?
#parity
#classification
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B स्वतुल्य नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रमण नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर पूर्णांक या तो सम है या सम नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either even or not even, so it is related to itself in its group.
Step 2
Why this answer is correct
समान समूह में होने का संबंध सममित है। / Being in the same group is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध पूर्णांकों को सम और विषम दो वर्गों में बाँटता है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The relation divides integers into even and odd classes, so it is an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में से एक सम और दूसरा विषम हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) holds when one of (a) and (b) is even and the other is odd. Why is it not an equivalence relation?
#reflexivity failure
#parity
#non equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
B क्योंकि सममितता नहीं है / Because symmetry fails
C क्योंकि कोई युग्म नहीं है / Because there is no pair
D क्योंकि यह सार्वत्रिक संबंध है / Because it is the universal relation
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Correct Answer
A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / Reflexivity requires (aRa) for every integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संख्या स्वयं के साथ एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती। / A number cannot be one even and one odd with itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए स्वतुल्यता टूटती है और संबंध तुल्यता संबंध नहीं है। / Therefore reflexivity fails, so the relation is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a+b) is even. How many ordered pairs are in the relation?
#even sum
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (4)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (8) pairs.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) अपरिमेय हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is irrational. Why is it not an equivalence relation?
#irrational difference
#reflexivity failure
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
B क्योंकि हर अंतर अपरिमेय होता है / Because every difference is irrational
C क्योंकि यह पहचान संबंध है / Because it is the identity relation
D क्योंकि यह सार्वत्रिक संबंध है / Because it is the universal relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है / Because reflexivity fails
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (aRa) चाहिए। / Reflexivity requires (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) है, और (0) अपरिमेय नहीं है। / (a-a=0), and (0) is not irrational.
Step 3
Exam Tip
इसलिए स्वतुल्यता नहीं है; तुल्यता संबंध बनने के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। / Thus reflexivity fails; all three properties are needed for equivalence.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय हो। \(\sqrt{3}\) के वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?
On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. Which element belongs to the class of \(\sqrt{3}\)?
#rational difference
#equivalence class
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{3}+2\)
B \(\sqrt{2}\)
C \(2\sqrt{3}\)
D \(\pi\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}+2\)
Step 1
Concept
(\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2) है। / (\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{3}+2\) उसी तुल्यता वर्ग में आएगा। / Since (2) is rational, \(\sqrt{3}+2\) belongs to the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
अंतर निकालना इस प्रकार के प्रश्नों की सबसे सरल जांच है। / Subtracting the two numbers is the quickest check.
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किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य नहीं है?
Which option gives a relation that is not reflexive?
#reflexivity failure
#odd sum
#relation properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम हो / On integers, (aRb) when (a+b) is odd
B पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम हो / On integers, (aRb) when (a-b) is even
C वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (|a|=|b|) / On real numbers, (aRb) when (|a|=|b|)
D व्यक्तियों पर समान आयु वाला संबंध / Relation of having the same age among persons
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम हो / On integers, (aRb) when (a+b) is odd
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए जरूरी है। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a+b) विषम वाला संबंध स्वतुल्य नहीं है। / Therefore the odd-sum relation is not reflexive.
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किस विकल्प में संबंध संक्रमण नहीं है?
Which option gives a relation that is not transitive?
#not transitive
#friendship relation
#relation properties
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A लोगों में मित्र होने का संबंध / Relation of being friends among people
B समान ऊँचाई वाला संबंध / Relation of having the same height
C पूर्णांकों पर समान शेष वाला संबंध / Same remainder relation on integers
D समान वर्ग मान वाला संबंध / Relation of having the same square value
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Correct Answer
A. लोगों में मित्र होने का संबंध / Relation of being friends among people
Step 1
Concept
यदि पहला व्यक्ति दूसरे का मित्र है और दूसरा तीसरे का मित्र है, तो पहला तीसरे का मित्र हो यह जरूरी नहीं। / If one person is friends with a second and the second is friends with a third, the first need not be friends with the third.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मित्रता संबंध संक्रमण नहीं है। / Therefore friendship is not transitive.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता की जांच अलग से जरूर करें। / Always test transitivity separately for equivalence.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\). How many pairs are in this relation?
#modulo 3
#counting pairs
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (6)
C (9)
D (18)
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Step 1
Concept
इस संबंध के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। / The classes are ({1,4},{2,5},{3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12) pairs.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \(x\in[y]\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If (R) is an equivalence relation and \(x\in[y]\), which conclusion is correct?
#class equality
#element in class
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ([x]=[y])
B \([x]\cap[y]=\varnothing\)
C \(x\notin[x]\)
D \(y\notin[y]\)
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Correct Answer
A. ([x]=[y])
Step 1
Concept
\(x\in[y]\) का अर्थ है कि (x) और (y) संबंधित हैं। / \(x\in[y]\) means (x) is related to (y).
Step 2
Why this answer is correct
संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Related elements have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([x]=[y]) होगा। / Hence ([x]=[y]).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \([a]\cup[b]\) कब एक ही तुल्यता वर्ग होगा?
If (R) is an equivalence relation, when will \([a]\cup[b]\) be a single equivalence class?
#union of classes
#equivalence classes
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जब ([a]=[b]) / When ([a]=[b])
B जब \([a]\cap[b]=\varnothing\) / When \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C हमेशा / Always
D कभी नहीं / Never
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Correct Answer
A. जब ([a]=[b]) / When ([a]=[b])
Step 1
Concept
दो तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Two equivalence classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ([a]=[b]), तो उनका संघ भी वही एक वर्ग होगा। / If ([a]=[b]), their union is the same single class.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों का संघ सामान्यतः एक तुल्यता वर्ग नहीं होता। / The union of distinct classes is generally not one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से बड़े हों या दोनों (2) से बड़े न हों। इस संबंध से कौन सा विभाजन बनेगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both greater than (2) or both not greater than (2). Which partition is formed by this relation?
#classification
#partition
#equivalence relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2},{3,4,5})
B ({1,3,5},{2,4})
C ({1,2,3},{4,5})
D ({1},{2},{3,4,5})
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Correct Answer
A. ({1,2},{3,4,5})
Step 1
Concept
(2) से बड़े न होने वाले तत्व (1,2) हैं। / Elements not greater than (2) are (1,2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़े तत्व (3,4,5) हैं। / Elements greater than (2) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
संबंध इन दो समूहों के आधार पर विभाजन बनाता है। / The relation forms a partition using these two groups.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर संबंध (A R B) तब है जब (A) और (B) में तत्वों की संख्या समान हो। ({1,2}) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3\}\), (A R B) holds when (A) and (B) have the same number of elements. Which is the equivalence class of ({1,2})?
#subsets
#equivalence class
#same cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({{1,2},{1,3},{2,3}})
B ({{1},{2},{3}})
C \({\varnothing}\)
D ({{1,2,3}})
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Correct Answer
A. ({{1,2},{1,3},{2,3}})
Step 1
Concept
({1,2}) में (2) तत्व हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(S) के वे सभी उपसमुच्चय जिनमें (2) तत्व हैं, ({1,2},{1,3},{2,3}) हैं। / The subsets of (S) with (2) elements are ({1,2},{1,3},{2,3}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय संबंध की शर्त के अनुसार समान तत्व-संख्या वाले उपसमुच्चय चुनें। / To form the equivalence class, choose subsets with the same number of elements.
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