Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(x-x=0\in \mathbb{Z}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(x-x=0\in \mathbb{Z}\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(x-y\in \mathbb{Z}\), तो \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), इसलिए सममिति है। / If \(x-y\in \mathbb{Z}\), then \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता मिलती है। / The sum of integers is an integer, so transitivity holds.
(x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। / Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं। / This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval.
(3.25-0.25=3), जो पूर्णांक है। / (3.25-0.25=3), which is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Therefore both numbers lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
दशमलव भाग समान हो तो पूर्णांक अंतर वाला सम्बन्ध जल्दी पहचाना जा सकता है। / If the decimal part is the same, a relation based on integer difference can be identified quickly.
(x) तभी (1.7) से सम्बन्धित होगा जब (x-1.7) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1.7) only when (x-1.7) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है (x=1.7+n), जहाँ \(n\in Z\)। / This means (x=1.7+n), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
केवल एक अंतराल लिखना गलत होगा, क्योंकि वर्ग में अलग-अलग पूर्णांक दूरी वाली संख्याएँ आती हैं। / Writing just one interval is wrong because the class contains numbers at integer distances.
(3) पूर्णांक है, इसलिए (5.3), (2.3) के वर्ग में आएगा। / Since (3) is an integer, (5.3) belongs to the class of (2.3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें कि वह पूर्णांक है या नहीं। / Subtract from the given element and check whether the difference is an integer.
\(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\) है। / \(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) पूर्णांक है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Since (2) is an integer, \(\frac{5}{2}\) and \(\frac{1}{2}\) are in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दोनों संख्याओं का अंतर निकालें। / In such questions, subtract the two numbers.
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a=-(a-b)) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a=-(a-b)) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांकीय अंतरों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two integer differences is also an integer, so transitivity holds.
यदि (a-b) पूर्णांक है और (b-c) पूर्णांक है, तो उनका योग (a-c) भी पूर्णांक होगा। / If (a-b) is an integer and (b-c) is an integer, their sum (a-c) is also an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में बंद गुण को याद रखें। / In difference relations, remember closure under addition.
(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / The sum of two integer differences is an integer, so transitivity also holds.
