समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के (3) से भाग देने पर समान शेषफल आए। ([2]) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is ([2])?
#equivalence class
#modulo
#finite set
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3,5,6})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। / In (A), (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([2]={2,5})। / Hence ([2]={2,5}).
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), which statement is necessarily true?
#equivalence class
#same class
#relation
A ([a]=[b])
B \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C (a=b)
D \([a]\subsetneq[b]\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। / \((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / Elements in the same class have equal equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता। / Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b).
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?
#squares
#equivalence class
#finite set
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-1,1})
D ({-2,-1,1,2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.
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समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) (6) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (6). What is the equivalence class of (0)?
#integers
#modulo
#equivalence class
A \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)
B \({6k+1:k\in\mathbb{Z}}\)
C \({k+6:k\in\mathbb{Z}}\)
D ({0,6})
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Correct Answer
A. \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
(0) से संबंधित संख्या (b) के लिए (0-b) (6) से विभाज्य होना चाहिए। / For (b) to be related to (0), (0-b) must be divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (b) (6) का गुणज है। / This means (b) is a multiple of (6).
Step 3
Exam Tip
अनंत समुच्चय में वर्ग को सामान्य रूप \({6k:k\in\mathbb{Z}}\) से लिखें। / For infinite sets, write the class in general form as \({6k:k\in\mathbb{Z}}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) का एक वर्ग ({1,2,5}) है। यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो नीचे दिए गए में कौन सा युग्म (R) में नहीं हो सकता?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), one equivalence class of (R) is ({1,2,5}). If (R) is an equivalence relation, which pair cannot be in (R)?
#equivalence class
#impossible pair
#partition
A ((1,5))
B ((2,1))
C ((5,2))
D ((1,3))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. ((1,3))
Step 1
Concept
({1,2,5}) के भीतर सभी युग्म संबंध में होंगे। / All pairs inside ({1,2,5}) must be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((1,3)) संबंध में हो, तो (3) भी उसी वर्ग में आ जाएगा। / If ((1,3)) were in the relation, then (3) would belong to the same class.
Step 3
Exam Tip
किसी वर्ग के बाहर के अवयव से संबंध जुड़ना वर्ग को बदल देता है। / A pair with an outside element changes the class, so it is not possible here.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (\gcd(a,6)=\gcd(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (\gcd(a,6)=\gcd(b,6)). What is the equivalence class of (4)?
#gcd
#equivalence class
#relations
A ({2,4})
B ({1,5})
C ({3})
D ({6})
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Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(\gcd(4,6)=2) है। / (\gcd(4,6)=2).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है, वे (2) और (4) हैं। / In (A), the elements whose gcd with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
पहले दिए गए फलन जैसा मान निकालें, फिर समान मान वाले अवयव चुनें। / First compute the assigned value, then collect elements with the same value.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) हैं। नीचे दिए गए में कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes are ({1,4}) and ({2,3}). Which pair must belong to the relation?
#equivalence class
#partition
#pairs
A ((1,2))
B ((4,1))
C ((3,4))
D ((2,4))
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Correct Answer
B. ((4,1))
Step 1
Concept
एक वर्ग के अंदर हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / Within one equivalence class, every element is related to every element of that class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (4) एक ही वर्ग में हैं, इसलिए ((4,1)) अवश्य होगा। / Since (1) and (4) are in the same class, ((4,1)) must be present.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के अवयवों को संबंधित मानने की गलती न करें। / Do not relate elements from different classes unless the class says so.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (5)?
#modulo
#equivalence class
#remainders
A ({1,5})
B ({2,6})
C ({4,8})
D ({5})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,5})
Step 1
Concept
(5) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (5) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में वही अवयव लें जिनका शेषफल (1) है, यानी (1) और (5)। / In (A), elements with the same remainder are (1) and (5).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल सबसे तेज तरीका है। / For modulo relations, use remainders as the fastest method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) दिया है। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) is given. What is the equivalence class of (1)?
#equivalence class
#ordered pairs
#relation
A ({1})
B ({1,2})
C ({1,2,3})
D ({3,4})
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Correct Answer
B. ({1,2})
Step 1
Concept
(1) के साथ जुड़े सभी अवयव देखें। / Look for all elements related to (1).
Step 2
Why this answer is correct
(R) में ((1,1)) और ((1,2)) हैं, इसलिए (1) का वर्ग ({1,2}) है। / Since ((1,1)) and ((1,2)) are in (R), the class of (1) is ({1,2}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले दिए गए युग्मों में पहला अवयव तय करके देखें। / In exams, fix the first element and list all related second elements.
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सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?
On positive integers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same power of (2), that is, \(a=2^k m\) and \(b=2^k n\), where (m,n) are odd. What forms the equivalence class of (12)?
#power of 2
#positive integers
#equivalence class
#number theory
A वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात हो / Numbers having exactly power (2) of (2)
B सभी (12) के गुणज / All multiples of (12)
C सभी सम संख्याएँ / All even numbers
D केवल (12) / Only (12)
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Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात हो / Numbers having exactly power (2) of (2)
Step 1
Concept
\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसमें (2) की ठीक (2) घात है। / \(12=2^2\cdot 3\), so it has exactly power (2) of (2).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध केवल (2) की इस घात को देखता है। / The relation checks only this power of (2).
Step 3
Exam Tip
अतः वर्ग में वे संख्याएँ आएँगी जिन्हें (4) से भाग दिया जा सके, पर (8) से नहीं। / Hence the class contains numbers divisible by (4) but not by (8).
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सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{a}{b}\) (2) की पूर्णांक घात हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}\) is an integral power of (2). Which is the equivalence class of (3)?
#positive real numbers
#powers of 2
#equivalence class
#ratio relation
A \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)
B \({2^n:n\in Z}\)
C \({3+n:n\in Z}\)
D ({3})
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Correct Answer
A. \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)
Step 1
Concept
(x) तभी (3) से सम्बन्धित होगा जब \(\frac{x}{3}=2^n\), जहाँ \(n\in Z\)। / A number (x) is related to (3) when \(\frac{x}{3}=2^n\), where \(n\in Z\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x=3\cdot 2^n\) मिलेगा। / This gives \(x=3\cdot 2^n\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात पर आधारित सम्बन्धों में गुणात्मक रूप से वर्ग लिखना चाहिए। / For ratio-based relations, write the class in multiplicative form.
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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\cos^2 a=\cos^2 b\)। \(\frac{\pi}{3}\) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या अवश्य होगी?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(\cos^2 a=\cos^2 b\). Which of the following must be in the equivalence class of \(\frac{\pi}{3}\)?
#cosine square
#equivalence class
#trigonometry
#advanced
A \(\frac{2\pi}{3}\)
B \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\pi\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{2\pi}{3}\)
Step 1
Concept
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), इसलिए वर्ग मान \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), so the squared value is \(\frac{1}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), इसका वर्ग भी \(\frac{1}{4}\) है। / \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\), whose square is also \(\frac{1}{4}\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक मान समान हो सकते हैं। / After squaring, positive and negative values may become equal.
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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\sin^2 a=\sin^2 b\)। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(\sin^2 a=\sin^2 b\). Which of the following numbers belongs to the equivalence class of (0)?
#trigonometric relation
#sine square
#equivalence class
#real numbers
A \(\pi\)
B \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\frac{\pi}{4}\)
D \(\frac{\pi}{6}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\pi\)
Step 1
Concept
\(\sin^2 0=0\)। / \(\sin^2 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin^2 \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान वर्ग में है। / \(\sin^2 \pi=0\), so \(\pi\) is in the same class as (0).
Step 3
Exam Tip
वर्ग में वे कोण आएँगे जिनकी ज्या का वर्ग (0) है। / The class contains angles whose squared sine value is (0).
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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2-a=b^2-b\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^2-a=b^2-b\). Which is the equivalence class of (3)?
#quadratic expression
#equivalence class
#real numbers
#advanced
A ({-2,3})
B ({3})
C ({2,3})
D ({-3,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,3})
Step 1
Concept
\(3^2-3=6\)। / \(3^2-3=6\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2-x=6\) से \(x^2-x-6=0\), अर्थात ((x-3)(x+2)=0)। / \(x^2-x=6\) gives \(x^2-x-6=0\), that is ((x-3)(x+2)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=3) या (x=-2), और वर्ग ({-2,3}) है। / Hence (x=3) or (x=-2), so the class is ({-2,3}).
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सभी प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) के अंकों का गुणनफल समान हो। (23) के तुल्यता वर्ग में कौन-सी संख्या आएगी?
On natural numbers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same product of digits. Which number belongs to the equivalence class of (23)?
#digit product
#natural numbers
#equivalence class
#classification
A (16)
B (24)
C (33)
D (41)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(23) के अंकों का गुणनफल \(2\cdot 3=6\) है। / The product of digits of (23) is \(2\cdot 3=6\).
Step 2
Why this answer is correct
(16) के अंकों का गुणनफल \(1\cdot 6=6\) है। / The product of digits of (16) is \(1\cdot 6=6\).
Step 3
Exam Tip
समान अंकीय गुणनफल होने से (16) उसी तुल्यता वर्ग में होगा। / Since the digit product is the same, (16) lies in the same equivalence class.
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यदि (R) तुल्यता सम्बन्ध है और \(a\not R b\), तो ([a]) और ([b]) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and \(a\not R b\), which statement about ([a]) and ([b]) is correct?
#disjoint classes
#not related
#equivalence class
#theory
A \([a]\cap[b]=\varnothing\)
B ([a]=[b])
C \([a]\subset[b]\)
D \([a]\cup[b]=\varnothing\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)
Step 1
Concept
तुल्यता सम्बन्ध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं। / In an equivalence relation, two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) सम्बन्धित नहीं हैं, तो उनके वर्ग समान नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, their classes cannot be equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उनके वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore the intersection of their classes is empty.
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यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता सम्बन्ध है और \([a]\subseteq[b]\), तो क्या निष्कर्ष निश्चित है?
If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\subseteq[b]\), what conclusion is definite?
#equivalence class
#subset property
#theory
#relations
A ([a]=[b])
B \([a]\cap[b]=\varnothing\)
C \(a\notin[b]\)
D \([b]\subset[a]\) असंभव है / \([b]\subset[a]\) is impossible
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ([a]=[b])
Step 1
Concept
(a) हमेशा अपने वर्ग ([a]) में होता है। / (a) always belongs to its own class ([a]).
Step 2
Why this answer is correct
\([a]\subseteq[b]\) होने से \(a\in[b]\), इसलिए (a) और (b) सम्बन्धित हैं। / Since \([a]\subseteq[b]\), we get \(a\in[b]\), so (a) and (b) are related.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयवों के वर्ग समान होते हैं, अतः ([a]=[b])। / In an equivalence relation, related elements have equal classes, hence ([a]=[b]).
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सभी बिंदुओं \(R^2\) पर (P R Q) तब और केवल तब जब दोनों बिंदु मूल बिंदु से समान दूरी पर हों। ((6,8)) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?
On all points in \(R^2\), (P R Q) if and only if the two points are at the same distance from the origin. What does the equivalence class of ((6,8)) represent?
#distance from origin
#equivalence class
#circle
#coordinate geometry
A मूल बिंदु से दूरी (10) वाला वृत्त / Circle at distance (10) from the origin
B मूल बिंदु से दूरी (14) वाली रेखा / Line at distance (14) from the origin
C केवल ((6,8)) / Only ((6,8))
D सभी (x)-अक्ष के बिंदु / All points on the (x)-axis
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मूल बिंदु से दूरी (10) वाला वृत्त / Circle at distance (10) from the origin
Step 1
Concept
((6,8)) की मूल बिंदु से दूरी \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) है। / The distance of ((6,8)) from the origin is \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी बिंदुओं की दूरी भी (10) होगी। / All points related to it must also have distance (10).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाले सभी बिंदु मूल बिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points at the same distance from the origin form a circle centered at the origin.
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सभी बिंदुओं \(R^2\) पर (P R Q) तब और केवल तब जब दोनों बिंदुओं की (x)-निर्देशांक समान हो। बिंदु ((3,-2)) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On all points in \(R^2\), (P R Q) if and only if the two points have the same (x)-coordinate. What is the equivalence class of ((3,-2))?
#coordinate plane
#equivalence class
#same x coordinate
#geometry
A \({(3,y):y\in R}\)
B \({(x,-2):x\in R}\)
C ({(3,-2)})
D ({(x,y):x+y=1})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({(3,y):y\in R}\)
Step 1
Concept
((3,-2)) का (x)-निर्देशांक (3) है। / The (x)-coordinate of ((3,-2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
उसी वर्ग के सभी बिंदुओं का (x)-निर्देशांक (3) होगा। / All points in the same class must have (x)-coordinate (3).
Step 3
Exam Tip
(y)-निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग ऊर्ध्वाधर रेखा है। / The (y)-coordinate can be any real number, so the class is a vertical line.
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सभी क्रमित युग्मों \(R^2\) पर ((a,b)S(c,d)) तब और केवल तब जब (a-b=c-d)। ((4,1)) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all ordered pairs in \(R^2\), ((a,b)S(c,d)) if and only if (a-b=c-d). Which is the equivalence class of ((4,1))?
#ordered pairs
#difference invariant
#equivalence class
#cartesian plane
A ({(x,y):x-y=3})
B ({(x,y):x+y=5})
C ({(4,1)})
D ({(x,y):xy=4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({(x,y):x-y=3})
Step 1
Concept
((4,1)) के लिए (4-1=3)। / For ((4,1)), (4-1=3).
Step 2
Why this answer is correct
उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। / Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है। / Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}).
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सभी प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड समान हो। (18) का तुल्यता वर्ग किस प्रकार की संख्याओं से बनेगा?
On natural numbers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same greatest prime factor. What kind of numbers form the equivalence class of (18)?
#prime factor
#equivalence class
#natural numbers
#classification
A वे संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है / Numbers whose greatest prime factor is (3)
B वे संख्याएँ जो (18) की गुणज हैं / Numbers that are multiples of (18)
C सभी सम संख्याएँ / All even numbers
D केवल (18) / Only (18)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वे संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है / Numbers whose greatest prime factor is (3)
Step 1
Concept
\(18=2\cdot 3^2\), इसलिए इसका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / \(18=2\cdot 3^2\), so its greatest prime factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध केवल सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड को देखता है। / The relation checks only the greatest prime factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का होगा जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / Therefore the class contains all natural numbers whose greatest prime factor is (3).
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सभी बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब और केवल तब जब (p(1)=q(1))। (p(x)=x-2 +x) का तुल्यता वर्ग किस शर्त से बनेगा?
On the set of all polynomials, (pRq) if and only if (p(1)=q(1)). By which condition is the equivalence class of (p(x)=x-2 +x) formed?
#polynomials
#function value
#equivalence class
#relations
A ({q:q(1)=2})
B ({q:q(0)=2})
C ({q:\deg(q)=2})
D ({q:q(x)=x-2 +x})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({q:q(1)=2})
Step 1
Concept
दिए गए बहुपद के लिए (p(1)=12 +1=2)। / For the given polynomial, (p(1)=12 +1=2).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध (1) पर समान मान देखने वाला है। / The relation checks equality of value at (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वही सभी बहुपद वर्ग में आएँगे जिनका (1) पर मान (2) है। / Hence all polynomials whose value at (1) is (2) lie in this class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if and only if \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\). Which is the equivalence class of (5)?
#ceiling function
#equivalence class
#finite set
#function based
A ({5,6})
B ({4,5})
C ({5})
D ({5,6,7})
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Correct Answer
A. ({5,6})
Step 1
Concept
\(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\)। / \(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), इसलिए (6) भी उसी वर्ग में है। / \(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), so (6) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
छत फलन वाले प्रश्नों में अगला पूरा मान कब आता है, यह ध्यान से देखें। / In ceiling function questions, carefully check where the next integer value begins.
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सभी जटिल संख्याओं पर \(z_1Rz_2\) तब और केवल तब जब (\operatorname{Re}\(z_1\)=\operatorname{Re}\(z_2\))। (2+3i) का तुल्यता वर्ग क्या दर्शाता है?
On all complex numbers, \(z_1Rz_2\) if and only if (\operatorname{Re}\(z_1\)=\operatorname{Re}\(z_2\)). What does the equivalence class of (2+3i) represent?
#complex numbers
#real part
#equivalence class
#vertical line
A \({2+yi:y\in R}\)
B \({x+3i:x\in R}\)
C ({2+3i})
D ({z:|z|=2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({2+yi:y\in R}\)
Step 1
Concept
(2+3i) का वास्तविक भाग (2) है। / The real part of (2+3i) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का वास्तविक भाग (2) होना चाहिए। / All complex numbers related to it must have real part (2).
Step 3
Exam Tip
काल्पनिक भाग कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग \({2+yi:y\in R}\) है। / The imaginary part can be any real number, so the class is \({2+yi:y\in R}\).
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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^4=b^4\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(a^4=b^4\). Which is the equivalence class of (2)?
#fourth power
#real numbers
#equivalence class
#even power
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-2,0,2})
D सभी वास्तविक संख्याएँ / all real numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
\(2^4=16\) है। / \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में \(x^4=16\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। / Over real numbers, \(x^4=16\) gives (x=2) and (x=-2).
Step 3
Exam Tip
सम घात में चिन्ह बदलने पर मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों अवयव वर्ग में होंगे। / With an even power, the sign can change while the value remains the same, so both elements are included.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6)). Which is the equivalence class of (4)?
#lcm
#equivalence class
#finite set
#number theory
A ({4})
B ({2,4})
C ({4,6})
D ({1,4})
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(\operatorname{lcm}(4,6)=12)। / (\operatorname{lcm}(4,6)=12).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (4) का (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (12) है। / In the given set, only (4) has least common multiple (12) with (6).
Step 3
Exam Tip
समान मान वाले अवयव ही एक वर्ग में आते हैं, इसलिए वर्ग ({4}) है। / Only elements with the same value lie in one class, so the class is ({4}).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का सही तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On real numbers, (aRb) if and only if \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\). Which is the correct equivalence class of \(\frac{5}{4}\)?
#floor function
#interval
#equivalence class
#real numbers
A \([1,\frac{3}{2}\))
B \([\frac{5}{4},\frac{3}{2}\))
C (\(1,\frac{3}{2}]\)
D ([0,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([1,\frac{3}{2}\))
Step 1
Concept
\(\lfloor 2\cdot\frac{5}{4}\rfloor=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor=2\)। / \(\lfloor 2\cdot\frac{5}{4}\rfloor=\lfloor \frac{5}{2}\rfloor=2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) का अर्थ \(2\le 2x<3\) है। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
दोनों तरफ (2) से भाग देने पर \(1\le x<\frac{3}{2}\), इसलिए वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Dividing by (2) gives \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the class is \([1,\frac{3}{2}\)).
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सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\)। \(\frac{5}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On all real numbers, (aRb) if and only if \(\lfloor 2a\rfloor=\lfloor 2b\rfloor\). Which is the equivalence class of \(\frac{5}{4}\)?
#floor function
#equivalence class
#real numbers
#interval
A \([\frac{5}{4},\frac{3}{2}\))
B \([1,\frac{3}{2}\))
C \([\frac{1}{2},1\))
D \({\frac{5}{4}}\)
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Correct Answer
A. \([\frac{5}{4},\frac{3}{2}\))
Step 1
Concept
\(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक भाग (2) है। / \(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), so the floor value is (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) के लिए \(2\le 2x<3\) होगा। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(\frac{5}{4}\le x<\frac{3}{2}\) नहीं, बल्कि \(1\le x<\frac{3}{2}\) मिलता है; इसलिए सही वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Hence \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the correct class is \([1,\frac{3}{2}\)).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\). Which is the equivalence class of (3)?
#squares modulo 7
#equivalence class
#number theory
#expert
A ({3,4})
B ({3,7})
C ({1,3,5})
D ({2,3,6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({3,4})
Step 1
Concept
\(3^2=9\), जिसका (7) से शेष (2) है। / \(3^2=9\), which leaves remainder (2) modulo (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\) का भी (7) से शेष (2) है। / \(4^2=16\) also leaves remainder (2) modulo (7).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं; वर्ग ({3,4}) होगा। / Therefore (3) and (4) are in the same equivalence class, so the class is ({3,4}).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in Z\)। \(\frac{3}{4}\) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in Z\). Which is the equivalence class of \(\frac{3}{4}\)?
#integer difference
#real numbers
#equivalence class
#fractional part
A \({\frac{3}{4}+n:n\in Z}\)
B ([0,1))
C \({\frac{3}{4}}\)
D \({n:n\in Z}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \({\frac{3}{4}+n:n\in Z}\)
Step 1
Concept
(x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। / Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं। / This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval.
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