number-theory MCQ Questions for Class 10

Simple Explanation

किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होगा यदि हर अवयव हर(denominator) में केवल 2 और/या 5 के घात हों। समाप्त होने वाले दशमलव के स्थानों की संख्या उस घातों का अधिकतम मान होती है (यानी max(m,n) यदि हर = 2^m5^n)। यहाँ संख्या 29, 2 या 5 से समवर्ग नहीं है, अतः भिन्न सधारण रूप में भी \(2^a5^b\) ही रहेगी। दिया गया है कि \(a>b\), इसलिए अधिकतम घात \(a\) होगा और उसे 8 के बराबर होना चाहिए ताकि दशमलव ठीक 8 स्थानों पर समाप्त हो। अतः \(a=8\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(7\) गलत है क्योंकि वह केवल 7 दशमलव स्थान देगा; \(a+b\) भी असम्बद्ध है क्योंकि स्थानों की संख्या घातों के योग पर नहीं बल्कि अधिकतम पर निर्भर करती है। परीक्षा-सुझाव: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें और फिर हर के रूप में \(2^m5^n\) के घातों का अधिकतम लें। / A rational number has a terminating decimal exactly when its denominator (in lowest terms) is of the form \(2^m5^n\). The number of decimal places needed equals max(m,n). Here 29 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\) after simplification. Given \(a>b\), the maximum exponent is \(a\); for exactly 8 decimal places we must have \(a=8\). Option 7 is wrong because it would give only 7 decimal digits; \(a+b\) is irrelevant since the decimal length depends on the maximum exponent, not the sum. Exam tip: always reduce the fraction first and then take the larger of the exponents of 2 and 5 to get the number of decimal places.