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number theory MCQ Questions for Class 12

number theory se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

10 questions tagged with number theory.

Question 1/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?

On positive integers, (aRb) if and only if (a) and (b) have the same power of (2), that is, \(a=2^k m\) and \(b=2^k n\), where (m,n) are odd. What forms the equivalence class of (12)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. वे संख्याएँ जिनमें (2) की ठीक (2) घात होNumbers having exactly power (2) of (2)

Step 1

Concept

\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसमें (2) की ठीक (2) घात है। / \(12=2^2\cdot 3\), so it has exactly power (2) of (2).

Step 2

Why this answer is correct

सम्बन्ध केवल (2) की इस घात को देखता है। / The relation checks only this power of (2).

Step 3

Exam Tip

अतः वर्ग में वे संख्याएँ आएँगी जिन्हें (4) से भाग दिया जा सके, पर (8) से नहीं। / Hence the class contains numbers divisible by (4) but not by (8).

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Question 2/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6)). Which is the equivalence class of (4)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. ({4})

Step 1

Concept

(\operatorname{lcm}(4,6)=12)। / (\operatorname{lcm}(4,6)=12).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में केवल (4) का (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (12) है। / In the given set, only (4) has least common multiple (12) with (6).

Step 3

Exam Tip

समान मान वाले अवयव ही एक वर्ग में आते हैं, इसलिए वर्ग ({4}) है। / Only elements with the same value lie in one class, so the class is ({4}).

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Question 3/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\)। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if and only if \(a^2\equiv b^2 \pmod{7}\). Which is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({3,4})

Step 1

Concept

\(3^2=9\), जिसका (7) से शेष (2) है। / \(3^2=9\), which leaves remainder (2) modulo (7).

Step 2

Why this answer is correct

\(4^2=16\) का भी (7) से शेष (2) है। / \(4^2=16\) also leaves remainder (2) modulo (7).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं; वर्ग ({3,4}) होगा। / Therefore (3) and (4) are in the same equivalence class, so the class is ({3,4}).

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Question 4/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) का (6) से महत्तम समापवर्तक समान हो। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if the greatest common divisor of (a) and (6) equals the greatest common divisor of (b) and (6). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({1,5})

Step 1

Concept

(\gcd(5,6)=1) है। / (\gcd(5,6)=1).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (\gcd(a,6)=1) केवल (1) और (5) के लिए मिलता है। / In the given set, (\gcd(a,6)=1) occurs only for (1) and (5).

Step 3

Exam Tip

समान महत्तम समापवर्तक वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class.

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Question 5/10 Hard Mathematics Relations and Functions Transitive relation Class 12 Level 14

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) परस्पर अभाज्य हों। क्या (R) संक्रमण है?

On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) are coprime. Is (R) transitive?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(2) और (3) परस्पर अभाज्य हैं, तथा (3) और (4) भी परस्पर अभाज्य हैं। / (2) and (3) are coprime, and (3) and (4) are also coprime.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (2) और (4) परस्पर अभाज्य नहीं हैं। इसलिए संक्रमण टूटता है। / But (2) and (4) are not coprime. Hence transitivity fails.

Step 3

Exam Tip

परस्पर अभाज्य संबंध में बीच की संख्या अलग-अलग कारणों से जुड़ सकती है। / In coprime relations, the middle number may connect for different reasons.

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Question 6/10 Expert Mathematics Relations and Functions Symmetric relation Class 12 Level 12

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=2\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।

On \(A=\{1,2,3,4,6\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=2\}\). Choose the correct statement about (R).

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Correct Answer

A. (R) सममित है(R) is symmetric

Step 1

Concept

(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)) होता है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यदि ((a,b)) में महत्तम समापवर्तक (2) है, तो ((b,a)) में भी वही रहेगा। / So if the greatest common divisor of ((a,b)) is (2), the same is true for ((b,a)).

Step 3

Exam Tip

जिन राशियों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, वे अक्सर सममित संबंध बनाती हैं। / Quantities unchanged by swapping often define symmetric relations.

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Question 7/10 Medium Mathematics Relations and Functions Symmetric relation Class 12 Level 10

\(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R={(a,b):a\) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है(}) कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), what type is the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\)?

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Correct Answer

A. सममितSymmetric

Step 1

Concept

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता। / The greatest common divisor of two numbers does not change when the order changes.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है, तो (b) और (a) का भी (1) होगा। / If (\gcd(a,b)=1), then (\gcd(b,a)=1) also.

Step 3

Exam Tip

संख्या-गुण वाले नियम में क्रम बदलकर नियम की स्थिरता जाँचें। / In number-property rules, swap the order and see whether the rule remains unchanged.

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Question 8/10 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 9

यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और (R) में ((a,b)) तभी है जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) only when (a) and (b) have a common prime factor, is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) too.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। / The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.

Step 3

Exam Tip

एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive.

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Question 9/10 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 8

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a\) और (b) का समान गुणनखंड (1) से बड़ा है(}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):a\) and (b) have a common factor greater than (1)(}). Is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity also requires ((1,1)).

Step 2

Why this answer is correct

(1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। / The number (1) has no factor greater than (1).

Step 3

Exam Tip

एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive.

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Question 10/10 Expert Mathematics Relations and Functions Reflexive relation Class 12 Level 7

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) का समान अभाज्य गुणनखंड हो। क्या (R) प्रतिवर्ती है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation (R) is defined by \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor. Is (R) reflexive?

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Correct Answer

B. नहींNo

Step 1

Concept

प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) as well.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए \((1,1)\in R\) नहीं है। / The number (1) has no prime factor, so \((1,1)\notin R\).

Step 3

Exam Tip

एक भी तत्व विकर्ण शर्त तोड़ दे तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.

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