Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\)। (8) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
दिए गए समुच्चय में (6,7,8) के लिए \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\) मिलता है। / In the given set, (6,7,8) have \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\).
Step 3
Exam Tip
(9) के लिए मान (3) है, इसलिए (9) इस वर्ग में नहीं आएगा। / For (9), the value is (3), so (9) is not in this class.
A. सभी धनात्मक पूर्णांक जिनका अंतिम अंक (2) है/All positive integers with last digit (2)
Step 1
Concept
(102) का अंतिम अंक (2) है। / The last digit of (102) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध अंतिम अंक की समानता पर आधारित है। / The relation is based on equality of last digit.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसका वर्ग (2) अंतिम अंक वाली सभी धनात्मक पूर्णांकों से बनेगा, केवल सम संख्याओं से नहीं। / So its class consists of all positive integers with last digit (2), not merely all even numbers.
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\tan a=\tan b\), जहाँ \(\tan a\) और \(\tan b\) परिभाषित हैं। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
\(\tan \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान स्पर्शज्या मान देता है। / \(\tan \pi=0\), so \(\pi\) has the same tangent value as (0).
Step 3
Exam Tip
पर \(\frac{\pi}{2}\) पर स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है, इसलिए सावधानी रखें। / But tangent is undefined at \(\frac{\pi}{2}\), so the domain must be checked carefully.
(29) के अंकों का योग (2+9=11) है। / The sum of digits of (29) is (2+9=11).
Step 2
Why this answer is correct
(56) के अंकों का योग (5+6=11) है। / The sum of digits of (56) is (5+6=11).
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध अंकों के योग पर आधारित है, इसलिए (56) उसी तुल्यता वर्ग में आएगा। / Since the relation is based on digit sum, (56) lies in the same equivalence class.
\(\cos 2\pi=1\), इसलिए \(2\pi\) का कोज्या मान भी (0) जैसा है। / \(\cos 2\pi=1\), so \(2\pi\) has the same cosine value as (0).
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान वाले सम्बन्ध में समान मान वाली सभी संख्याएँ एक ही वर्ग में आती हैं। / In a relation based on equal function value, all numbers with the same value lie in the same class.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। / In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं। / So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial.
((2,5)) के लिए योग (2+5=7) है। / For ((2,5)), the sum is (2+5=7).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी युग्मों का योग भी (7) होना चाहिए। / Every pair related to it must also have sum (7).
Step 3
Exam Tip
ऐसे सम्बन्धों में तुल्यता वर्ग एक नियत मान वाली रेखा या वक्र के रूप में मिल सकता है। / In such relations, an equivalence class may appear as a set of points satisfying a fixed value condition.
जिन वास्तविक संख्याओं का वर्ग (25) है, वे (-5) और (5) हैं। / The real numbers whose square is (25) are (-5) and (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाली समानता में चिन्ह बदल सकता है, इसलिए दोनों संख्याओं को शामिल करना चाहिए। / In equality of squares, the sign may change, so both numbers must be included.
(x) तभी \(\sqrt{2}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\sqrt{2}\) परिमेय हो। / A number (x) is related to \(\sqrt{2}\) when \(x-\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहाँ \(q\in Q\)। / So \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in Q\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतर वाले वर्गों में अनन्त संख्याएँ होती हैं, केवल एक संख्या नहीं। / Classes based on rational difference contain infinitely many numbers, not just one number.
जिन अवयवों के लिए (\min(a,3)=3) होगा, वे (3,4,5) हैं। / The elements for which (\min(a,3)=3) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
फलन के समान मान से बने सम्बन्ध में समान मान वाले सभी अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In a relation made by equal function values, all elements with the same value lie in one class.
(x) तभी (1.7) से सम्बन्धित होगा जब (x-1.7) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1.7) only when (x-1.7) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है (x=1.7+n), जहाँ \(n\in Z\)। / This means (x=1.7+n), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
केवल एक अंतराल लिखना गलत होगा, क्योंकि वर्ग में अलग-अलग पूर्णांक दूरी वाली संख्याएँ आती हैं। / Writing just one interval is wrong because the class contains numbers at integer distances.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर सम्बन्ध (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
(3) स्वयं (3) का गुणज है। / (3) itself is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में वही अवयव आएँगे जो (3) के गुणज हैं। / Its equivalence class contains exactly those elements that are multiples of (3).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (3) के गुणज (3) और (6) हैं, इसलिए वर्ग ({3,6}) है। / In the given set, the multiples of (3) are (3) and (6), so the class is ({3,6}).
A. सभी अवयवों का एक ही तुल्यता वर्ग (A) है/All elements have the single equivalence class (A)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In \(A\times A\), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई भी दो अवयव अलग वर्गों में नहीं रह सकते। / Therefore no two elements can lie in different classes.
Step 3
Exam Tip
यह सार्विक सम्बन्ध है और इसका एक ही तुल्यता वर्ग पूरा समुच्चय (A) होता है। / This is the universal relation, and its single equivalence class is the whole set (A).
\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(12=2^2\cdot 3\), so its set of prime factors is ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\cdot 3^2\) में भी अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(18=2\cdot 3^2\) also has the prime factor set ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
घातें अलग हो सकती हैं, पर इस सम्बन्ध में केवल अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय देखा जाता है। / Powers may differ, but this relation checks only the set of prime factors.
({1,2}) में (2) अवयव हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। / Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted.
(-1) को (4) से भाग देने पर शेष को (3) के रूप में लिखा जाता है। / The remainder of (-1) modulo (4) is written as (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (-1) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक (4) से भाग देने पर शेष (3) देंगे। / So all integers related to (-1) leave remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या आने पर भी शेष को (0,1,2,3) में लिखना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है। / Even for negative numbers, write the remainder in (0,1,2,3) for exam clarity.
