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Concept-wise Practice

positive real numbers MCQ Questions for Class 12

positive real numbers se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

10 questions tagged with positive real numbers.

Question 1/10 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या इस संक्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Does this operation have an identity element?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) हर धनात्मक (a) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every positive (a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), यानी (e) हर (a) के साथ बदल रहा है। / \(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), so (e) depends on (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव एक स्थिर अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ कोई तत्समक अवयव नहीं है। / An identity must be one fixed element, so no identity exists here.

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Question 2/10 Hard Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (a) का प्रतिलोम कौन सा है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

B. \(\frac{4}{a}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। / The identity for this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=2\Rightarrow \frac{ax}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{a}\)। / \(a*x=2\Rightarrow \frac{ax}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{a}\).

Step 3

Exam Tip

पहले तत्समक अवयव निकालें, फिर प्रतिलोम निकालें। / Find the identity first, then find the inverse.

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Question 3/10 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

\(a*b=\sqrt{ab}\) और \(b*a=\sqrt{ba}\) लिखें। / Write \(a*b=\sqrt{ab}\) and \(b*a=\sqrt{ba}\).

Step 2

Why this answer is correct

क्योंकि (ab=ba), दोनों का वर्गमूल समान होगा। / Since (ab=ba), both square roots are equal.

Step 3

Exam Tip

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का प्रयोग करके नई संक्रिया की जांच करें। / Use the commutative property of multiplication to test the new operation.

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Question 4/10 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\) से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\) gives (e=2).

Step 3

Exam Tip

भाग वाली संक्रिया में दोनों तरफ सरल करते समय (a) शून्य न हो, यह ध्यान रखें। / While simplifying, note that (a) is positive and hence non-zero.

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Question 5/10 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (6) का प्रतिलोम क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the inverse of (6)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

C. \(\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक अवयव (2) है। / The identity of this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

(6*x=2) रखें। \(\frac{6x}{2}=2\) से (3x=2) और \(x=\frac{2}{3}\) है। / Put (6*x=2). Then \(\frac{6x}{2}=2\), so (3x=2) and \(x=\frac{2}{3}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में संक्रिया का परिणाम तत्समक होना चाहिए। / For inverse, the operation result must be the identity.

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Question 6/10 Medium Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) दिया है। तत्समक अवयव क्या है?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\) और (a>0) होने से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\), and since (a>0), (e=2).

Step 3

Exam Tip

गुणा जैसी संक्रिया में भाग देने वाले स्थिरांक पर ध्यान दें। / In multiplication-type operations, pay attention to the constant divisor.

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Question 7/10 Easy Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a\ast b=\frac{ab}{2}\) दिया है। तत्समक अवयव क्या होगा?

On positive real numbers, \(a\ast b=\frac{ab}{2}\) is given. What is the identity element?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

\(a\ast e=a\) रखें। / Put \(a\ast e=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\) से (e=2) मिलता है। \(e\ast a\) में भी यही मान मिलता है। / From \(\frac{ae}{2}=a\), we get (e=2). The same value works for \(e\ast a\).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाली क्रिया में जल्दबाजी में (1) को तत्समक न मानें। / In fractional operations, do not assume (1) is always the identity.

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Question 8/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{a}{b}\) (2) की पूर्णांक घात हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{a}{b}\) is an integral power of (2). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. \({3\cdot 2^n:n\in Z}\)

Step 1

Concept

(x) तभी (3) से सम्बन्धित होगा जब \(\frac{x}{3}=2^n\), जहाँ \(n\in Z\)। / A number (x) is related to (3) when \(\frac{x}{3}=2^n\), where \(n\in Z\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x=3\cdot 2^n\) मिलेगा। / This gives \(x=3\cdot 2^n\).

Step 3

Exam Tip

अनुपात पर आधारित सम्बन्धों में गुणात्मक रूप से वर्ग लिखना चाहिए। / For ratio-based relations, write the class in multiplicative form.

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Question 9/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\frac{\ln a}{\ln b}\) परिभाषित हो और परिमेय हो। यह सम्बन्ध क्यों तुल्यता सम्बन्ध नहीं है?

On positive real numbers, (aRb) if and only if \(\frac{\ln a}{\ln b}\) is defined and rational. Why is this not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. क्योंकि (1R1) परिभाषित नहीं हैBecause (1R1) is not defined

Step 1

Concept

(1) के लिए \(\ln 1=0\) है। / For (1), \(\ln 1=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) परिभाषित नहीं है। / \(\frac{\ln 1}{\ln 1}=\frac{0}{0}\) is undefined.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता टूटने पर सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / When reflexivity fails, the relation cannot be an equivalence relation.

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Question 10/10 Expert Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\log a-\log b\in Z\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?

On all positive real numbers, (aRb) if and only if \(\log a-\log b\in Z\). Which is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. \({x>0:\log x\in Z}\)

Step 1

Concept

(1) के लिए \(\log 1=0\)। / For (1), \(\log 1=0\).

Step 2

Why this answer is correct

(x) तभी (1) से सम्बन्धित होगा जब \(\log x-0\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1) when \(\log x-0\) is an integer.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग उन धनात्मक संख्याओं का है जिनका लघुगणक पूर्णांक है। / Hence the class contains positive numbers whose logarithm is an integer.

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