Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पिछले प्रश्न की तरह तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}) नहीं, बल्कि \(x=\frac{-a}{1-a}=\frac{a}{a-1}\) है। / For inverse (x), (a*x=0), so (a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a\Rightarrow x=\frac{a}{a-1}).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में चिह्न ध्यान से देखें। / Watch the sign carefully while matching options.
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है/Yes, because the result is always an integer
Step 1
Concept
संवृतता का अर्थ है कि (a,b) पूर्णांक हों तो (a*b) भी पूर्णांक हो। / Closure means if (a,b) are integers, then (a*b) must also be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) पूर्णांकों के योग और गुणन से बना है, इसलिए पूर्णांक रहेगा। / (a+b+ab) is formed using integer addition and multiplication, so it is an integer.
Step 3
Exam Tip
संवृतता में क्रमविनिमेयता नहीं, परिणाम का समुच्चय देखा जाता है। / Closure checks the set of the result, not commutativity.
\(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। पूर्णांक (x) के लिए (a+1) को (a) को भाग देना चाहिए, इसलिए (a+1) को (a-(a+1)=-1) को भी भाग देना होगा। इसलिए \(a+1=\pm1\), अर्थात (a=0) या (a=-2)। / \(a*x=0\Rightarrow a+x+ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}\). For integer (x), (a+1) must divide (a), hence it must also divide (-1). Thus \(a+1=\pm1\), so (a=0) or (a=-2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम के प्रश्न में भाग्यता की जाँच बहुत जरूरी है। / For inverse questions on integers, divisibility is the key check.
C. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab) में (a) और (b) की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=(a+1)(b+1)-1), इसलिए ((a*b)*c=(a+1)(b+1)(c+1)-1=a*(b*c))। / Since (a*b=(a+1)(b+1)-1), both groupings give ((a+1)(b+1)(c+1)-1).
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से कठिन साहचर्य जाँच आसान हो जाती है। / Rewriting the operation often simplifies associativity checks.
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है/It is commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b-ab) is unchanged by interchanging (a,b), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए दोनों तरफ (1-) मान लेने पर समान गुणन बनता है। अतः साहचर्य है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), both bracketings lead to the same product form, so it is associative.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी पूरक रूप लिखना तेजी से समाधान देता है। / Complement-type rewriting can make associativity quick.
A. क्योंकि कुछ जोड़ों के लिए हर शून्य हो जाता है/Because the denominator becomes zero for some pairs
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया हर क्रमित जोड़े के लिए परिभाषित होनी चाहिए। / A binary operation must be defined for every ordered pair of elements of the set.
Step 2
Why this answer is correct
(a=1,b=-1) लेने पर दोनों समुच्चय में हैं, पर (a+b=0), इसलिए मान परिभाषित नहीं है। / If (a=1,b=-1), both are in the set, but (a+b=0), so the value is undefined.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा में किसी एक असफल जोड़े से द्विआधारी संक्रिया अस्वीकार हो जाती है। / One undefined pair is enough to reject it as a binary operation.
तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a*0=a)। / The identity is (0) because (a*0=a).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1})। / For inverse (x), (a+x+ax=0\Rightarrow x(a+1)=-a\Rightarrow x=\frac{-a}{a+1}).
Step 3
Exam Tip
यहाँ \(a\neq -1\), इसलिए हर (a) के लिए हर शून्य नहीं होगा। / Since \(a\neq -1\), the denominator is not zero.
A. क्योंकि (a*b=-1) कभी नहीं होता/Because (a*b) is never (-1)
Step 1
Concept
संवृतता के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए, यानी (-1) नहीं होना चाहिए। / For closure, the result must belong to (A), so it must not be (-1).
Step 2
Why this answer is correct
(a*b+1=a+b+ab+1=(a+1)(b+1))। चूँकि \(a,b\neq -1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। / (a*b+1=(a+1)(b+1)). Since \(a,b\neq -1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
निषिद्ध मान से बचना संवृतता जाँचने का अच्छा तरीका है। / For restricted sets, check that the forbidden value cannot occur.
यह (3) के अनुसार जोड़ है। / This is addition modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) को (3) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (0) तत्समक है। / The remainder of (a+0) on division by (3) is (a) itself. So (0) is identity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) को पहले जाँचें। / In remainder-based addition, test (0) first.
(2*x=0) का अर्थ है कि (2+x) का शेषफल (0) हो। (2+1=3), जिसका शेषफल (0) है। / (2*x=0) means the remainder of (2+x) should be (0). Since (2+1=3), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे जाँचकर निकाला जा सकता है। / In small finite sets, inverses can be checked directly.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है, पर शेषफल (0) आने पर उसे (5) नहीं माना जाता। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?
A. हाँ, क्योंकि शेषफल हमेशा (1,2,3,4) में है/Yes, because the remainder is always in (1,2,3,4)
Step 1
Concept
(A) में (5) का कोई गुणज नहीं है, पर गुणनफल (ab) जाँचें। / Check whether (ab) can be divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3,4) में से किसी दो का गुणनफल (5) से विभाज्य नहीं होता, क्योंकि (5) अभाज्य है और कोई गुणक (5) नहीं है। इसलिए शेषफल (0) नहीं आएगा। / Since (5) is prime and none of (1,2,3,4) is divisible by (5), the product is not divisible by (5). So remainder (0) never occurs.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समुच्चय में लौटे तो संक्रिया संवृत है। / If the remainder always returns to the set, closure holds.
यह (5) के अनुसार गुणन है। / This is multiplication modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / The remainder of \(a\cdot1\) on division by (5) is (a). Hence (1) is identity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली गुणन संक्रिया में (1) को पहले जाँचें। / In modular multiplication, test (1) as identity first.
(3*x) का शेषफल (1) चाहिए। \(3\cdot2=6\), जिसका (5) से शेषफल (1) है। / We need the remainder of (3*x) to be (1). Since \(3\cdot2=6\), the remainder on division by (5) is (1).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुणन सारणी मन में बनाना उपयोगी है। / A quick modular multiplication table helps in such questions.
(ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), जो (a) पर निर्भर है। / (ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), which depends on (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है। / An identity must be one fixed element for all (a), so it does not exist here.
परिणाम वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। (2a+2b=2b+2a), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The result is real, so closure holds. Also (2a+2b=2b+2a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=2(2a+2b)+2c=4a+4b+2c), जबकि (a*(b*c)=2a+2(2b+2c)=2a+4b+4c)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=4a+4b+2c), while (a*(b*c)=2a+4b+4c), not generally equal.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य में पूरे बीजगणितीय रूप की तुलना करें। / For associativity, compare the complete algebraic forms.
A. यह संवृत है और इसका तत्समक (2) है/It is closed and has identity (2)
Step 1
Concept
दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन अशून्य होता है, इसलिए \(\frac{ab}{2}\) भी अशून्य है। / The product of two non-zero real numbers is non-zero, so \(\frac{ab}{2}\) is also non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), जो समुच्चय में है। / \(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), which belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
अशून्य समुच्चय में परिणाम शून्य तो नहीं बन रहा, यह जरूर जाँचें। / For non-zero sets, ensure the result cannot become zero.
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a^2+b^2=b^2+a^2\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*1=2*1=22+1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=1+22=5) यह उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा उदाहरण लें: ((2*1)*1=5*1=26), जबकि (2*(1*1)=2*2=8)। इसलिए साहचर्य नहीं। / Use a counterexample: ((2*1)*1=5*1=26), while (2*(1*1)=2*2=8). Therefore it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य को सिद्ध या असिद्ध करने में सही विरोधी उदाहरण चुनें। / To disprove associativity, choose a counterexample carefully.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).
प्रतिलोम निकालते समय लक्ष्य (0) नहीं, इसी संक्रिया का तत्समक अवयव होता है। / While finding inverse, the target is the identity of that operation, not always (0).
A. क्योंकि (a*b=1) कभी नहीं होगा/Because (a*b) will never be (1)
Step 1
Concept
(A) में संवृतता के लिए परिणाम (1) नहीं होना चाहिए। / For closure in (A), the result must not be (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चूँकि \(a,b\neq1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए \(a*b\neq1\)। / (1-(a*b)=(1-a)(1-b)). Since \(a,b\neq1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq1\).
Step 3
Exam Tip
निषिद्ध अवयव को परिणाम बनने से रोकना संवृतता का अच्छा प्रमाण है। / Showing that the forbidden element cannot occur proves closure neatly.
प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\)। (a=1) पर हर शून्य हो जाता है और समीकरण (1=0) जैसा असंभव बनता है। / For inverse (x), \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\). When (a=1), the denominator becomes zero and no solution exists.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम सूत्र में हर की शून्यता जरूर देखें। / Always check where the inverse formula becomes undefined.
(a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0)। (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। / (a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0). (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
जब एक मान सभी (a) के लिए चले, वही तत्समक अवयव है। / The value that works for all (a) is the identity.
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो (x) नहीं निकलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), (x) is not defined.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में हर की शून्यता सबसे महत्वपूर्ण जाँच है। / The most important check in inverse questions is whether the denominator becomes zero.
समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus\left{-\frac{1}{\lambda}\right}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है, जहाँ \(\lambda\neq0\)। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम क्या है?
तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) हर धनात्मक (a) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every positive (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), यानी (e) हर (a) के साथ बदल रहा है। / \(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), so (e) depends on (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव एक स्थिर अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ कोई तत्समक अवयव नहीं है। / An identity must be one fixed element, so no identity exists here.
(a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) भी वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। / If (a,b) are real, then (a+2b) is also real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
क्रमविनिमेयता के लिए (a+2b=b+2a) हर बार होना चाहिए, पर (a=1,b=2) लेने पर (1*2=5) और (2*1=4) मिलते हैं। / Commutativity would require (a+2b=b+2a) always, but for (a=1,b=2), (1*2=5) and (2*1=4).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
