Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) भी वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। / If (a,b) are real, then (a+2b) is also real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
क्रमविनिमेयता के लिए (a+2b=b+2a) हर बार होना चाहिए, पर (a=1,b=2) लेने पर (1*2=5) और (2*1=4) मिलते हैं। / Commutativity would require (a+2b=b+2a) always, but for (a=1,b=2), (1*2=5) and (2*1=4).
Step 3
Exam Tip
क्रमविनिमेयता तोड़ने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.
तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) हर धनात्मक (a) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every positive (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), यानी (e) हर (a) के साथ बदल रहा है। / \(\sqrt{ae}=a\Rightarrow ae=a^2\Rightarrow e=a\), so (e) depends on (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव एक स्थिर अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ कोई तत्समक अवयव नहीं है। / An identity must be one fixed element, so no identity exists here.
समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus\left{-\frac{1}{\lambda}\right}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है, जहाँ \(\lambda\neq0\)। इस संक्रिया के लिए (a) का प्रतिलोम क्या है?
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो (x) नहीं निकलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), (x) is not defined.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में हर की शून्यता सबसे महत्वपूर्ण जाँच है। / The most important check in inverse questions is whether the denominator becomes zero.
(a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0)। (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। / (a+e+\lambda ae=a\Rightarrow e\(1+\lambda a\)=0). (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
जब एक मान सभी (a) के लिए चले, वही तत्समक अवयव है। / The value that works for all (a) is the identity.
प्रतिलोम (x) के लिए \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\)। (a=1) पर हर शून्य हो जाता है और समीकरण (1=0) जैसा असंभव बनता है। / For inverse (x), \(a+x-ax=0\Rightarrow x=\frac{-a}{1-a}\). When (a=1), the denominator becomes zero and no solution exists.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम सूत्र में हर की शून्यता जरूर देखें। / Always check where the inverse formula becomes undefined.
A. क्योंकि (a*b=1) कभी नहीं होगा/Because (a*b) will never be (1)
Step 1
Concept
(A) में संवृतता के लिए परिणाम (1) नहीं होना चाहिए। / For closure in (A), the result must not be (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चूँकि \(a,b\neq1\), दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए \(a*b\neq1\)। / (1-(a*b)=(1-a)(1-b)). Since \(a,b\neq1\), both factors are non-zero, so \(a*b\neq1\).
Step 3
Exam Tip
निषिद्ध अवयव को परिणाम बनने से रोकना संवृतता का अच्छा प्रमाण है। / Showing that the forbidden element cannot occur proves closure neatly.
प्रतिलोम निकालते समय लक्ष्य (0) नहीं, इसी संक्रिया का तत्समक अवयव होता है। / While finding inverse, the target is the identity of that operation, not always (0).
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a^2+b^2=b^2+a^2\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*1=2*1=22+1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=1+22=5) यह उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा उदाहरण लें: ((2*1)*1=5*1=26), जबकि (2*(1*1)=2*2=8)। इसलिए साहचर्य नहीं। / Use a counterexample: ((2*1)*1=5*1=26), while (2*(1*1)=2*2=8). Therefore it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य को सिद्ध या असिद्ध करने में सही विरोधी उदाहरण चुनें। / To disprove associativity, choose a counterexample carefully.
A. यह संवृत है और इसका तत्समक (2) है/It is closed and has identity (2)
Step 1
Concept
दो अशून्य वास्तविक संख्याओं का गुणन अशून्य होता है, इसलिए \(\frac{ab}{2}\) भी अशून्य है। / The product of two non-zero real numbers is non-zero, so \(\frac{ab}{2}\) is also non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), जो समुच्चय में है। / \(\frac{ae}{2}=a\Rightarrow e=2\), which belongs to the set.
Step 3
Exam Tip
अशून्य समुच्चय में परिणाम शून्य तो नहीं बन रहा, यह जरूर जाँचें। / For non-zero sets, ensure the result cannot become zero.
परिणाम वास्तविक है, इसलिए संवृतता है। (2a+2b=2b+2a), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The result is real, so closure holds. Also (2a+2b=2b+2a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=2(2a+2b)+2c=4a+4b+2c), जबकि (a*(b*c)=2a+2(2b+2c)=2a+4b+4c)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=4a+4b+2c), while (a*(b*c)=2a+4b+4c), not generally equal.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य में पूरे बीजगणितीय रूप की तुलना करें। / For associativity, compare the complete algebraic forms.
(ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), जो (a) पर निर्भर है। / (ae+a+e+1=a\Rightarrow e(a+1)+1=0\Rightarrow e=\frac{-1}{a+1}), which depends on (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है। / An identity must be one fixed element for all (a), so it does not exist here.
(3*x) का शेषफल (1) चाहिए। \(3\cdot2=6\), जिसका (5) से शेषफल (1) है। / We need the remainder of (3*x) to be (1). Since \(3\cdot2=6\), the remainder on division by (5) is (1).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुणन सारणी मन में बनाना उपयोगी है। / A quick modular multiplication table helps in such questions.
यह (5) के अनुसार गुणन है। / This is multiplication modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / The remainder of \(a\cdot1\) on division by (5) is (a). Hence (1) is identity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली गुणन संक्रिया में (1) को पहले जाँचें। / In modular multiplication, test (1) as identity first.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है, पर शेषफल (0) आने पर उसे (5) नहीं माना जाता। क्या यह (A) पर द्विआधारी संक्रिया है?
A. हाँ, क्योंकि शेषफल हमेशा (1,2,3,4) में है/Yes, because the remainder is always in (1,2,3,4)
Step 1
Concept
(A) में (5) का कोई गुणज नहीं है, पर गुणनफल (ab) जाँचें। / Check whether (ab) can be divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3,4) में से किसी दो का गुणनफल (5) से विभाज्य नहीं होता, क्योंकि (5) अभाज्य है और कोई गुणक (5) नहीं है। इसलिए शेषफल (0) नहीं आएगा। / Since (5) is prime and none of (1,2,3,4) is divisible by (5), the product is not divisible by (5). So remainder (0) never occurs.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समुच्चय में लौटे तो संक्रिया संवृत है। / If the remainder always returns to the set, closure holds.
(2*x=0) का अर्थ है कि (2+x) का शेषफल (0) हो। (2+1=3), जिसका शेषफल (0) है। / (2*x=0) means the remainder of (2+x) should be (0). Since (2+1=3), the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में प्रतिलोम सीधे जाँचकर निकाला जा सकता है। / In small finite sets, inverses can be checked directly.
यह (3) के अनुसार जोड़ है। / This is addition modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) को (3) से भाग देने पर वही शेषफल (a) मिलता है। इसलिए (0) तत्समक है। / The remainder of (a+0) on division by (3) is (a) itself. So (0) is identity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) को पहले जाँचें। / In remainder-based addition, test (0) first.
