Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। / For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.
Step 3
Exam Tip
तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं। / Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0).
(a*b=pa+qb) और (b*a=pb+qa)। / (a*b=pa+qb) and (b*a=pb+qa).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a,b) के लिए बराबरी तभी होगी जब (a) और (b) के गुणांक समान मिलें। इसलिए (p=q)। / For equality for every (a,b), the coefficients of (a) and (b) must match. Hence (p=q).
Step 3
Exam Tip
रैखिक संक्रिया में गुणांकों की तुलना सबसे तेज तरीका है। / For linear operations, comparing coefficients is the fastest method.
क्रमविनिमेयता के लिए \(a+\mu b=b+\mu a\) हर (a,b) के लिए चाहिए। / Commutativity requires \(a+\mu b=b+\mu a\) for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b) की तरह देखा जा सकता है। हर (a,b) के लिए यह तभी संभव है जब \(\mu=1\)। / This can be written as (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b). For all (a,b), this is possible only when \(\mu=1\).
Step 3
Exam Tip
पैरामीटर प्रश्नों में बराबरी सभी अवयवों के लिए होनी चाहिए। / In parameter questions, equality must hold for all elements.
\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। / But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove associativity.
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / Commutativity needs (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। / Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true.
Step 3
Exam Tip
घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है। / For exponential operations, logarithms often simplify comparison.
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
A. यह साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है/It is both associative and commutative
Step 1
Concept
सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। / The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें। / In hard operations, look for such simpler forms.
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं/Commutative but not associative
Step 1
Concept
(ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। / Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं। / Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity.
A. हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba)/Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
Step 1
Concept
(a*b) और (b*a) की तुलना करें। / Compare (a*b) and (b*a).
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba), दोनों बराबर हैं। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba), which are equal.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं, इसलिए यहाँ भी यह गुण मिलता है। / Since addition and multiplication of real numbers are commutative, this operation is also commutative.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-2) और (a*(b*c)=a+b+c-2), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-2) and (a*(b*c)=a+b+c-2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक जोड़ में समान स्थिर घटाव दोनों कोष्ठकों में मिल जाए तो साहचर्य बनता है। / In shifted addition, if the constant adjusts equally in both groupings, associativity holds.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य/Commutative and associative
Step 1
Concept
सामान्य गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Usual multiplication is commutative, so (ab=ba).
Step 2
Why this answer is correct
सामान्य गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / It is also associative, so ((ab)c=a(bc)).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में पहले संवृतता देखें; यहाँ (1) और (-1) का गुणन फिर (A) में ही रहता है। / In a finite set, check closure first; here products of (1) and (-1) remain in (A).
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है/It is commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b-ab) is unchanged by interchanging (a,b), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए दोनों तरफ (1-) मान लेने पर समान गुणन बनता है। अतः साहचर्य है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), both bracketings lead to the same product form, so it is associative.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी पूरक रूप लिखना तेजी से समाधान देता है। / Complement-type rewriting can make associativity quick.
C. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab) में (a) और (b) की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=(a+1)(b+1)-1), इसलिए ((a*b)*c=(a+1)(b+1)(c+1)-1=a*(b*c))। / Since (a*b=(a+1)(b+1)-1), both groupings give ((a+1)(b+1)(c+1)-1).
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से कठिन साहचर्य जाँच आसान हो जाती है। / Rewriting the operation often simplifies associativity checks.
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। / Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है। / For harder associativity checks, a smart transformation saves time.
(a*b=|a-b|) और (b*a=|b-a|) हैं। / (a*b=|a-b|) and (b*a=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
निरपेक्ष मान के कारण (|a-b|=|b-a|) होता है। / Because of absolute value, (|a-b|=|b-a|).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाली संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, पर सहचारीता अलग से जांचनी पड़ती है। / Absolute difference is commutative, but associativity must be checked separately.
(a*b=3a+3b-2ab) और (b*a=3b+3a-2ba) लिखें। / Write (a*b=3a+3b-2ab) and (b*a=3b+3a-2ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणा का क्रम बदलने पर मान नहीं बदलता, इसलिए दोनों समान हैं। / Addition and multiplication do not change value when order is changed, so both are equal.
Step 3
Exam Tip
सममित रूप वाली संक्रियाएं अक्सर क्रमविनिमेय होती हैं। / Symmetric-looking operations are often commutative.
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), इसलिए यह क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए तीन अवयवों पर भी समूह बदलने से परिणाम समान रहता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), grouping three elements does not change the result.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूपों में सरल बीजीय पहचान सहचारीता जल्दी दिखा देती है। / Useful algebraic rewriting can make associativity easier to verify.
A. क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं/Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), जबकि (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4})। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), while (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4}). They are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
औसत वाली संक्रिया में सहचारीता अक्सर टूट जाती है। / Average-type operations often fail associativity.
