A. क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं/Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), while (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4}). They are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
Average-type operations often fail associativity. चरण 1: \(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। चरण 2: ((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), जबकि (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4})। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। चरण 3: औसत वाली संक्रिया में सहचारीता अक्सर टूट जाती है।
\(\frac{a+e}{2}=a\) gives (e=a). This is not one fixed element.
Step 3
Exam Tip
An identity element must be the same for every (a). चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: \(\frac{a+e}{2}=a\) से (e=a) आता है। यह स्थिर अवयव नहीं है। चरण 3: तत्समक अवयव सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए।
The commutativity of addition makes this operation easy to check. चरण 1: \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। चरण 2: \(b*a=\frac{b+a}{2}\) है और (a+b=b+a) होता है। चरण 3: जोड़ की क्रमविनिमेयता से ऐसी संक्रिया का निर्णय आसान हो जाता है।
The two values are different, so the operation is generally not associative. चरण 1: (1*3=2), इसलिए ((1*3)*5=2*5=\frac{7}{2})। चरण 2: (3*5=4), इसलिए (1*(3*5)=1*4=\frac{5}{2})। चरण 3: दोनों मान अलग हैं, इसलिए संक्रिया सामान्यतः साहचर्य नहीं है।
A. क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का औसत परिमेय होता है/Because the average of two rational numbers is rational
Step 1
Concept
The sum of two rational numbers is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Dividing a rational number by (2) also gives a rational number.
Step 3
Exam Tip
An average-based rule remains closed on rational numbers. चरण 1: दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। चरण 2: किसी परिमेय संख्या को (2) से भाग देने पर भी परिमेय संख्या मिलती है। चरण 3: औसत वाले नियम में परिमेय संख्याओं पर बंदता सुरक्षित रहती है।
This gives (e=a), which changes with (a). No fixed (e) exists.
Step 3
Exam Tip
An identity element must be the same for the whole set. चरण 1: तत्समक (e) के लिए \(\frac{a+e}{2}=a\) होना चाहिए। चरण 2: इससे (e=a) मिलता है, जो हर (a) के अनुसार बदलता है। एक स्थिर (e) नहीं मिलता। चरण 3: तत्समक अवयव पूरे समुच्चय के लिए एक ही होना चाहिए।
A. क्योंकि \(1*2=\frac{3}{2}\notin\mathbb{Z}\)/Because \(1*2=\frac{3}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
On integers, the result must be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are integers, but their average \(\frac{3}{2}\) is not an integer.
Step 3
Exam Tip
Always check closure in average-based rules. चरण 1: पूर्णांकों पर परिणाम पूर्णांक ही होना चाहिए। चरण 2: (1) और (2) पूर्णांक हैं, पर उनका औसत \(\frac{3}{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 3: औसत वाले नियम में बंदता जरूर जाँचें।
