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A. ऐसा नियम जो \(A\times A\) के हर युग्म को (A) के एक तत्व से जोड़े/A rule that assigns each pair of \(A\times A\) to an element of (A)
Step 1
Concept
A binary operation takes two elements.
Step 2
Why this answer is correct
If both inputs are from (A) and the result is also in (A), it is an operation on (A).
Step 3
Exam Tip
In exams, check closure first. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया में दो तत्व लिए जाते हैं। चरण 2: दोनों तत्व (A) से हों और परिणाम भी (A) में आए तो यह (A) पर संक्रिया कहलाती है। चरण 3: परीक्षा में पहले बंदता जाँचें।
Closure means the result does not leave the set after the operation.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a*b) again lies in (A), so closure holds.
Step 3
Exam Tip
Closure is the first sign to check in binary operation questions. चरण 1: बंदता का मतलब है कि संक्रिया करने के बाद परिणाम समुच्चय से बाहर न जाए। चरण 2: यहाँ (a*b) फिर से (A) में है, इसलिए बंदता है। चरण 3: द्विआधारी संक्रिया पहचानने का पहला संकेत बंदता है।
A. क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग प्राकृतिक संख्या होता है/Because the sum of two natural numbers is a natural number
Step 1
Concept
Take any two numbers from \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their sum remains in \(\mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
Since closure holds, usual addition is a binary operation on \(\mathbb{N}\). चरण 1: \(\mathbb{N}\) से कोई भी दो संख्याएँ लें। चरण 2: उनका योग फिर \(\mathbb{N}\) में ही रहता है। चरण 3: बंदता होने से सामान्य जोड़ \(\mathbb{N}\) पर द्विआधारी संक्रिया है।
A. क्योंकि \(2-5\notin\mathbb{N}\)/Because \(2-5\notin\mathbb{N}\)
Step 1
Concept
For closure, every pair must give a result inside the set.
Step 2
Why this answer is correct
\(2,5\in\mathbb{N}\), but (2-5=-3), which is not in \(\mathbb{N}\).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to reject a binary operation. चरण 1: बंदता के लिए हर जोड़ी पर परिणाम समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: \(2,5\in\mathbb{N}\), लेकिन (2-5=-3), जो \(\mathbb{N}\) में नहीं है। चरण 3: एक प्रतिउदाहरण संक्रिया को अमान्य दिखाने के लिए काफी है।
On integers, both addition and multiplication are closed. चरण 1: दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा पूर्णांक होता है। चरण 2: इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) से बाहर नहीं जाता। चरण 3: पूर्णांकों पर जोड़ और गुणा दोनों बंद रहते हैं।
A. क्योंकि \(1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)/Because \(1\div2=\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
For a binary operation, every valid pair must give a result in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are integers, but \(\frac{1}{2}\) is not an integer.
Step 3
Exam Tip
Division often fails closure. चरण 1: द्विआधारी संक्रिया के लिए हर वैध जोड़ी का परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: (1) और (2) पूर्णांक हैं, पर \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 3: भाग में बंदता अक्सर टूट जाती है।
Addition-based operations often remain unchanged when order is changed. चरण 1: क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। चरण 2: (a+b=b+a), इसलिए (a*b=b*a)। चरण 3: जोड़ पर आधारित संक्रिया में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता।
A small numerical example is useful to test commutativity. चरण 1: (2*1=2-1=1)। चरण 2: (1*2=1-2=-1), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता जाँचने के लिए छोटा संख्यात्मक उदाहरण काफी उपयोगी होता है।
To find identity, place (e) and solve the equation. चरण 1: तत्समक अवयव (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e+1=a) से (e=-1) मिलता है। चरण 3: तत्समक अवयव निकालते समय (e) रखकर समीकरण हल करें।
From (a+e+ae=a), (e(1+a)=0), and (e=0) works for every (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must work for all elements. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) आता है, और (e=0) हर (a) के लिए काम करता है। चरण 3: तत्समक अवयव वही है जो सभी तत्वों के साथ काम करे।
(ae+1=a) cannot give one fixed (e) for all (a), and for (a=0) it gives (1=0), impossible.
Step 3
Exam Tip
An identity must be the same for all elements. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) चाहिए। चरण 2: (ae+1=a) से (e) हर (a) के लिए समान नहीं मिल सकता, और (a=0) पर (1=0) असंभव है। चरण 3: तत्समक अवयव सभी तत्वों के लिए एक ही होना चाहिए।
In a maximum operation, the smallest element is often the identity. चरण 1: (\max(a,e)=a) हर \(a\ge0\) के लिए चाहिए। चरण 2: (e=0) लेने पर (\max(a,0)=a) मिलता है। चरण 3: अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा तत्व अक्सर तत्समक होता है।
This requires (e) to be greater than or equal to all (a), but \([0,\infty\)) has no greatest element.
Step 3
Exam Tip
For a minimum operation, the greatest element is the identity if it exists. चरण 1: (\min(a,e)=a) हर \(a\ge0\) के लिए चाहिए। चरण 2: इसके लिए (e) सभी (a) से बड़ा या बराबर होना चाहिए, पर \([0,\infty\)) में सबसे बड़ा तत्व नहीं है। चरण 3: न्यूनतम संक्रिया में सबसे बड़ा तत्व तत्समक बनता है, यदि वह समुच्चय में हो।
Do not treat the symbol as usual multiplication; use the given rule. चरण 1: संक्रिया में (a=3) और (b=4) रखें। चरण 2: (3*4=3+2(4)=11)। चरण 3: ऐसी संक्रियाओं में चिन्ह को सामान्य गुणा न समझें, दिए गए नियम का ही उपयोग करें।
First read the rule, then calculate normally. चरण 1: नियम में (a=2) और (b=3) रखें। चरण 2: \(2*3=2+3+2\cdot3=11\)। चरण 3: पहले नियम पढ़ें, फिर सामान्य गणना करें।
Usual addition is associative. चरण 1: साहचर्यता में ((a*b)*c=a*(b*c)) जाँचा जाता है। चरण 2: जोड़ में ((a+b)+c=a+(b+c)) होता है। चरण 3: सामान्य जोड़ साहचर्य होता है।
A. क्योंकि ((5*2)*1\ne5*(2*1))/Because ((5*2)*1\ne5*(2*1))
Step 1
Concept
((5*2)*1=(5-2)-1=2).
Step 2
Why this answer is correct
(5*(2*1)=5-(2-1)=4).
Step 3
Exam Tip
They are not equal, so associativity fails. चरण 1: ((5*2)*1=(5-2)-1=2)। चरण 2: (5*(2*1)=5-(2-1)=4)। चरण 3: दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए साहचर्यता नहीं है।
This form is linked to multiplication, and multiplication is associative.
Step 3
Exam Tip
Rewriting the rule helps identify the property. चरण 1: (a*b=a+b+ab=(a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप गुणा से जुड़ा है और गुणा साहचर्य है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में रूप बदलकर गुण पहचानना आसान होता है।
To test commutativity, interchange the positions and compare. चरण 1: (1*2=1+4=5)। चरण 2: (2*1=2+2=4), इसलिए दोनों अलग हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता जाँचने के लिए स्थान बदलकर मान मिलाएँ।
For multiplication identity (e), we need \(a\cdot e=a\).
Step 2
Why this answer is correct
Taking (e=1), \(a\cdot1=a\) for every real (a).
Step 3
Exam Tip
Remember that the identity for usual multiplication is (1). चरण 1: गुणा में तत्समक (e) के लिए \(a\cdot e=a\) चाहिए। चरण 2: (e=1) लेने पर हर वास्तविक (a) के लिए \(a\cdot1=a\) होता है। चरण 3: सामान्य गुणा का तत्समक (1) याद रखें।
The identity for addition is (0). चरण 1: जोड़ में तत्समक (e) के लिए (a+e=a) चाहिए। चरण 2: (e=0) लेने पर हर (a) के लिए (a+0=a) मिलता है। चरण 3: जोड़ का तत्समक (0) होता है।
The inverse of (7) is the number that gives (0) when added, so (7+(-7)=0).
Step 3
Exam Tip
Under addition, the inverse of a number is its negative. चरण 1: जोड़ में तत्समक (0) है। चरण 2: (7) का प्रतिलोम वह संख्या है जिसे जोड़ने पर (0) मिले, इसलिए (7+(-7)=0)। चरण 3: जोड़ में किसी संख्या का प्रतिलोम उसका ऋणात्मक होता है।
The inverse of (5) is the number that gives (1) when multiplied.
Step 3
Exam Tip
Since \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), the inverse is \(\frac{1}{5}\). चरण 1: गुणा में तत्समक (1) है। चरण 2: (5) का प्रतिलोम वह संख्या है जिससे गुणा करने पर (1) मिले। चरण 3: \(5\cdot\frac{1}{5}=1\), इसलिए प्रतिलोम \(\frac{1}{5}\) है।
Taking (e=3), (\min(a,3)=a) because (3) is the greatest element of the set.
Step 3
Exam Tip
For a minimum operation, the greatest element is the identity. चरण 1: (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: (e=3) लेने पर (\min(a,3)=a) क्योंकि (3) समुच्चय का सबसे बड़ा तत्व है। चरण 3: न्यूनतम संक्रिया में सबसे बड़ा तत्व तत्समक होता है।
Taking (e=1), (\max(a,1)=a) because (1) is the smallest element.
Step 3
Exam Tip
For a maximum operation, the smallest element becomes the identity. चरण 1: (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: (e=1) लेने पर (\max(a,1)=a) क्योंकि (1) सबसे छोटा तत्व है। चरण 3: अधिकतम संक्रिया में सबसे छोटा तत्व तत्समक बनता है।
A. क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है/Because the sum of two rational numbers is rational
Step 1
Concept
\(\mathbb{Q}\) contains rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The sum of two rational numbers is again rational.
Step 3
Exam Tip
Since closure holds, it is a binary operation on \(\mathbb{Q}\). चरण 1: \(\mathbb{Q}\) में परिमेय संख्याएँ होती हैं। चरण 2: दो परिमेय संख्याओं का योग फिर परिमेय ही होता है। चरण 3: बंदता होने से यह \(\mathbb{Q}\) पर द्विआधारी संक्रिया है।
A. क्योंकि \(1*2=\sqrt{3}\notin\mathbb{N}\)/Because \(1*2=\sqrt{3}\notin\mathbb{N}\)
Step 1
Concept
The result must again lie in \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are natural, but \(\sqrt{3}\) is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
For square-root rules, check closure carefully. चरण 1: परिणाम को फिर \(\mathbb{N}\) में होना चाहिए। चरण 2: (1) और (2) प्राकृतिक हैं, लेकिन \(\sqrt{3}\) प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: वर्गमूल वाले नियमों में बंदता सावधानी से जाँचें।
If \(a,b\in\mathbb{Z}\), then (a-b) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|) is a non-negative integer, and it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{Z}\) includes all non-negative integers too. चरण 1: \(a,b\in\mathbb{Z}\) हों तो (a-b) पूर्णांक होता है। चरण 2: (|a-b|) गैरऋणात्मक पूर्णांक है, और वह \(\mathbb{Z}\) में शामिल है। चरण 3: \(\mathbb{Z}\) में सभी गैरऋणात्मक पूर्णांक भी आते हैं।
A. क्योंकि (0) और (1) का कोई भी गुणनफल फिर ({0,1}) में आता है/Because any product of (0) and (1) again lies in ({0,1})
Step 1
Concept
Check possible products \(0\cdot0,0\cdot1,1\cdot0,1\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
All results are (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
For a small set, checking all pairs is an easy method. चरण 1: संभावित गुणनफल \(0\cdot0,0\cdot1,1\cdot0,1\cdot1\) देखें। चरण 2: सभी परिणाम (0) या (1) हैं। चरण 3: छोटे समुच्चय में सभी जोड़ों को जाँचना आसान तरीका है।
A. क्योंकि \(1+1=2\notin{0,1}\)/Because \(1+1=2\notin{0,1}\)
Step 1
Concept
Closure must hold for every pair.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (1) are in the set, but their sum (2) is not in the set.
Step 3
Exam Tip
One failed pair breaks closure. चरण 1: बंदता हर जोड़ी के लिए चाहिए। चरण 2: (1) और (1) दोनों समुच्चय में हैं, पर उनका योग (2) समुच्चय में नहीं है। चरण 3: एक असफल जोड़ी से बंदता टूट जाती है।
In remainder-based addition, (0) acts as the identity. चरण 1: यह दो पर शेषफल वाला जोड़ है। चरण 2: (a*0) करने पर शेषफल (a) ही रहता है। चरण 3: शेषफल वाले जोड़ में (0) तत्समक की तरह काम करता है।
In (1*1), (1+1=2), whose remainder modulo (2) is (0).
Step 3
Exam Tip
Therefore (1) is its own inverse. चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक (0) है। चरण 2: (1*1) में (1+1=2) का शेषफल (0) है। चरण 3: इसलिए (1) अपना ही प्रतिलोम है।
In remainder-based addition, adding (0) does not change the element.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder of (a*0) is (a).
Step 3
Exam Tip
So (0) is the identity element. चरण 1: शेषफल वाले जोड़ में (0) जोड़ने से तत्व नहीं बदलता। चरण 2: (a*0) का शेषफल (a) ही आता है। चरण 3: इसलिए (0) तत्समक अवयव है।
(2+1=3), and the remainder on division by (3) is (0).
Step 3
Exam Tip
Therefore the inverse of (2) is (1). चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (2+1=3) और (3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। चरण 3: इसलिए (2) का प्रतिलोम (1) है।
Here changing the order of two elements does not change the result.
Step 2
Why this answer is correct
This is the definition of commutativity.
Step 3
Exam Tip
Remember this property using usual addition and multiplication. चरण 1: यहाँ दो तत्वों का क्रम बदलने पर परिणाम समान रहता है। चरण 2: यही क्रमविनिमेयता की परिभाषा है। चरण 3: जोड़ और गुणा जैसे सामान्य उदाहरणों से इस गुण को याद रखें।
Here changing the grouping does not change the result.
Step 2
Why this answer is correct
This property is called associativity.
Step 3
Exam Tip
In associativity, the order is not changed; only grouping changes. चरण 1: यहाँ कोष्ठक बदलने पर परिणाम नहीं बदलता। चरण 2: यह साहचर्यता कहलाती है। चरण 3: साहचर्यता में क्रम नहीं, बल्कि समूह बनाने का तरीका बदलता है।
The identity should work from both sides. चरण 1: (e) के साथ संक्रिया करने पर (a) नहीं बदलता। चरण 2: ऐसा तत्व तत्समक अवयव कहलाता है। चरण 3: तत्समक दोनों ओर से काम करे तो उत्तर मजबूत होता है।
An inverse is an element that combines with (a) to give the identity.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a*b=e) and (b*a=e), so (b) is the inverse.
Step 3
Exam Tip
Always understand inverse with respect to an identity element. चरण 1: प्रतिलोम वह तत्व है जो (a) के साथ संक्रिया करके तत्समक दे। चरण 2: यहाँ (a*b=e) और (b*a=e), इसलिए (b) प्रतिलोम है। चरण 3: प्रतिलोम हमेशा किसी तत्समक अवयव के संदर्भ में समझें।
For commutativity, both orders must give the same result. चरण 1: (1*2=1)। चरण 2: (2*1=2), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता के लिए दोनों क्रमों का परिणाम समान होना चाहिए।
According to the given rule, the result is the second element.
Step 2
Why this answer is correct
In (1*2), the second element is (2).
Step 3
Exam Tip
The operation rule may be different from usual addition or multiplication. चरण 1: दिए गए नियम में परिणाम दूसरा तत्व होता है। चरण 2: (1*2) में दूसरा तत्व (2) है। चरण 3: संक्रिया का नियम सामान्य जोड़ या गुणा से अलग हो सकता है।
If every result is in the same set, closure holds.
Step 3
Exam Tip
In table-based questions, check all entries first. चरण 1: सारणी के खाने संक्रिया के परिणाम दिखाते हैं। चरण 2: यदि हर परिणाम उसी समुच्चय में है, तो बंदता पूरी होती है। चरण 3: सारणी वाले प्रश्नों में पहले सभी प्रविष्टियाँ जाँचें।
A. संक्रिया (A) पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है/The operation is not a binary operation on (A)
Step 1
Concept
For a binary operation, every result must lie in (A).
Step 2
Why this answer is correct
If any result is outside (A), closure fails.
Step 3
Exam Tip
Once closure fails, it is not a binary operation on (A). चरण 1: द्विआधारी संक्रिया के लिए हर परिणाम (A) में होना चाहिए। चरण 2: यदि कोई परिणाम (A) से बाहर है, तो बंदता टूट जाती है। चरण 3: बंदता टूटते ही (A) पर द्विआधारी संक्रिया नहीं रहेगी।
Each pair has (2) possible outputs, so total operations are \(2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
Use \(|A|^{|A|^2}\) for the number of binary operations. चरण 1: \(A\times A\) में \(2^2=4\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: हर युग्म के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(2^4=16\)। चरण 3: कुल संक्रियाएँ निकालने के लिए \(|A|^{|A|^2}\) का प्रयोग करें।
Therefore, the number of binary operations is \(3^9\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) क्रमित युग्म होंगे। चरण 2: हर युग्म के परिणाम के लिए (3) विकल्प हैं। चरण 3: इसलिए कुल द्विआधारी संक्रियाएँ \(3^9\) हैं।
A. क्योंकि \(1*2=\frac{3}{2}\notin\mathbb{Z}\)/Because \(1*2=\frac{3}{2}\notin\mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
On integers, the result must be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(1) and (2) are integers, but their average \(\frac{3}{2}\) is not an integer.
Step 3
Exam Tip
Always check closure in average-based rules. चरण 1: पूर्णांकों पर परिणाम पूर्णांक ही होना चाहिए। चरण 2: (1) और (2) पूर्णांक हैं, पर उनका औसत \(\frac{3}{2}\) पूर्णांक नहीं है। चरण 3: औसत वाले नियम में बंदता जरूर जाँचें।
Dividing a rational number by (2) again gives a rational number.
Step 3
Exam Tip
Hence it is closed on \(\mathbb{Q}\). चरण 1: दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। चरण 2: परिमेय संख्या को (2) से भाग देने पर परिणाम फिर परिमेय रहता है। चरण 3: इसलिए यह \(\mathbb{Q}\) पर बंद है।
A. यह द्विआधारी संक्रिया है/It is a binary operation
Step 1
Concept
For any real (a,b), \(a^2\) and \(b^2\) are real.
Step 2
Why this answer is correct
Their sum is also real.
Step 3
Exam Tip
Since the result stays in real numbers, closure holds. चरण 1: किसी भी वास्तविक (a,b) के लिए \(a^2\) और \(b^2\) वास्तविक हैं। चरण 2: उनका योग भी वास्तविक होगा। चरण 3: परिणाम वास्तविक संख्याओं में रहने से बंदता मिलती है।
A. क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\)/Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
After changing the order, \(b*a=b^2+a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Addition is commutative, so \(a^2+b^2=b^2+a^2\).
Step 3
Exam Tip
Commutativity is easy to identify in addition-based forms. चरण 1: क्रम बदलने पर \(b*a=b^2+a^2\) होगा। चरण 2: जोड़ क्रमविनिमेय है, इसलिए \(a^2+b^2=b^2+a^2\)। चरण 3: जोड़ वाले रूप में क्रमविनिमेयता आसानी से पहचानी जाती है।
In such rules, the negative of the added constant often becomes the identity. चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e+2=a) से (e=-2) मिलता है। चरण 3: ऐसे नियमों में अतिरिक्त स्थिर संख्या का ऋणात्मक अक्सर तत्समक बनता है।
This gives (b=-7), so the inverse should be (-7). चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (-2) है। चरण 2: (3*b=-2) रखने पर (3+b+2=-2) मिलता है। चरण 3: इससे (b=-7)? ध्यान से देखें, (3+b+2=-2) से (b=-7), इसलिए सही प्रतिलोम (-7) होना चाहिए।
