The remainder when (4) is divided by (3) is (1), so (2*2=1).
Step 3
Exam Tip
In a remainder-based operation, the final answer must lie in the given set. चरण 1: (2+2=4)। चरण 2: (4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है, इसलिए (2*2=1)। चरण 3: शेषफल आधारित क्रिया में अंतिम उत्तर समुच्चय के भीतर होना चाहिए।
In remainder-based addition, adding (0) does not change the element.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder of (a*0) is (a).
Step 3
Exam Tip
So (0) is the identity element. चरण 1: शेषफल वाले जोड़ में (0) जोड़ने से तत्व नहीं बदलता। चरण 2: (a*0) का शेषफल (a) ही आता है। चरण 3: इसलिए (0) तत्समक अवयव है।
Elements with the same remainder form one equivalence class. चरण 1: (|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। चरण 2: शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। चरण 3: समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं।
Three equivalence classes are formed: ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (2) elements, so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total ordered pairs are (4+4+4=12). चरण 1: तीन तुल्यता वर्ग बनते हैं: ({1,4}), ({2,5}), और ({3,6})। चरण 2: हर वर्ग में (2) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4=12) क्रमित युग्म होंगे।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted. चरण 1: (3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। चरण 2: प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। चरण 3: कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते।
Equivalence classes are disjoint and together cover the whole set. चरण 1: (3) से भाग देने पर समान शेष वाली संख्याएँ एक वर्ग में आएँगी। चरण 2: शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3,6}) है। चरण 3: तुल्यता वर्ग आपस में अलग होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं।
For one-digit numbers, the digit sum is the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
(8) gives remainder (2) modulo (3), as do (2,5,8).
Step 3
Exam Tip
The condition is based on the remainder of the digit sum. चरण 1: एक अंकीय संख्याओं में अंकों का योग वही संख्या है। चरण 2: (8) का (3) से शेष (2) है, और (2,5,8) का भी शेष (2) है। चरण 3: शर्त अंकों के योग के शेष पर आधारित है।
A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Not an equivalence relation because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
The complement contains no ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation. चरण 1: (R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। चरण 2: पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। चरण 3: स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है।
Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
The total is (4+4+4=12) pairs. चरण 1: इस संबंध के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। चरण 2: हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे।
A. (1) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं/(1) and (4) are in the same equivalence class
Step 1
Concept
Both (1) and (4) give remainder (1) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Hence they belong to the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
In same-remainder questions, compare remainders directly. चरण 1: (1) और (4) दोनों को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 2: इसलिए वे एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। चरण 3: समान शेष वाले प्रश्नों में पहले भाग देकर शेष की तुलना करें।
Division by (3) gives possible remainders (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
The classes are ({3,6},{1,4},{2,5}).
Step 3
Exam Tip
In modulo relations, equivalence classes are based on remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2) हैं। चरण 2: इन्हीं शेषों के अनुसार वर्ग ({3,6},{1,4},{2,5}) बनते हैं। चरण 3: समान शेष वाला संबंध हमेशा शेषों की संख्या के अनुसार वर्ग देता है।
While finding the class, choose elements with the same remainder. चरण 1: (0) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (3) भी शेषफल (0) देता है। चरण 3: वर्ग निकालते समय समान शेषफल वाले तत्व चुनें।
In the given set, (1) also leaves the same remainder, so the class is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
Put only elements with the same remainder in the equivalence class. चरण 1: (4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (1) भी वही शेषफल देता है, इसलिए वर्ग ({1,4}) है। चरण 3: समतुल्यता वर्ग में केवल वही तत्व रखें जो समान शेषफल दें।
(5) also leaves remainder (2), so the class of (2) is ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
In modulo questions, making a remainder table is an easy method. चरण 1: (3) से भाग देने पर (2) का शेषफल (2) है। चरण 2: (5) का भी शेषफल (2) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। चरण 3: मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल तालिका बनाना आसान तरीका है।
Put all elements with remainder (0) in one class. चरण 1: (3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। चरण 2: (6) का भी शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल (0) वाले तत्वों को अलग वर्ग में रखें।
While forming the class, use only elements from the given set. चरण 1: (2) का (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। चरण 2: (5) का भी शेषफल (2) है। चरण 3: वर्ग बनाते समय केवल दिए हुए समुच्चय के तत्वों को ही लें।
Elements with the same remainder belong to the same equivalence class. चरण 1: (1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 2: (4) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 3: समान शेषफल वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं।
Modulo (n) usually gives (n) equivalence classes. चरण 1: \( \pmod{3}\) में शेषफल केवल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: समान शेषफल वाले पूर्णांक एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 3: \( \pmod{n}\) में सामान्यतः (n) तुल्यता वर्ग होते हैं।
Same remainder means the numbers lie in the same remainder class.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
For remainder relations, thinking in classes is simple. चरण 1: समान शेष का अर्थ है कि संख्याएँ एक ही शेष वर्ग में हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। चरण 3: शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचना सरल रहता है।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then all three have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
So (a) and (c) also have the same remainder, meaning \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Such relations can be checked quickly by forming remainder classes. चरण 1: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है और (b) तथा (c) का शेषफल समान है, तो तीनों का शेषफल समान होगा। चरण 2: इसलिए (a) और (c) भी समान शेषफल देंगे, यानी \((a,c)\in R\)। चरण 3: समान शेषफल के वर्ग बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं।
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है/Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
Swapping the order does not break congruence. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। चरण 2: समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। चरण 3: सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
The given set contains elements of all three remainder types.
Step 3
Exam Tip
Each same-remainder group forms one equivalence class. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। चरण 3: समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है।
Elements with the same remainder lie in the same class. चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) है। चरण 2: (5) और (8) का भी शेष (2) है। चरण 3: समान शेष वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं।
Therefore, the class of (2) is ({2,5}). चरण 1: (3) से भाग देने पर (2) का शेष (2) है। चरण 2: (5) का भी (3) से भाग देने पर शेष (2) है। चरण 3: इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है।
